Число е. (2-га надзвичайна границя )

Розглянемо графік експонентної функції (мал..6)

Мал.6

Із побудови витікає, що . Коли х стримиться до нуля, хорда АВ буде повертатися навколо точки А та наприкінці займе положення дотичної в точці А до графіка функції .

.

Застосовуя властивості логарифмічної функції, це вираження можливо записати:

або .

Отож:

Якщо змінімо в цьому виразі ,отримаємо .

Випадок, коли при х → х _o або х → ∞ функція f (x) набуває вид степеню, основу якої стримиться до одиниці, а показник – до нескінченності (випадок I^∞).

В даному випадку для знаходження границі функції використовується 2-а надзвичайна границя:

.

Приклад.

Знайти границі 1. .

При вказаній зміні аргументу функція набуває виду степеню, основа якої стримиться до одиниці, а показник – до нескінченності. Далі перетворимо функцію так, щоб використати 2-у надзвичайну границю.

.

2. .

Положим

При x → ∞ t → 0

.

Неперервність функції в точці.

Визначення. Функція f (x) є неперервною в точці x = x _о, якщо вона відповідає 3 умовам:

1. Вона визначена в цій точці.

2. Вона має обмежену границю в цій точці.

3. Границя функції дорівнює значенню функції в цій точці:

.

Приклад.

Дослідити на неперервність в точці x = 0 надані функції:

a) ; б) ; в) ; г) .

а) В точці х = 0 функція не є неперервною, т.як. не виконується перша умова неперервності – існування f (x).

б) В точці х = 0 не виконується друга умова – відсутність обмеженої границі (існують односторонні границі – ліва границя , права границя , але вони не однакові).

Функція не є неперервною (мал.7).

Мал.7

Мал.8

в) В цій функції (мал..8) дві умови неперервності виконані - існує та обмежена границя , але не виконується третя умова .

г) В точці х = 0 функція у = х ² неперервна, т.я. виконані всі три умови неперервності.

Поиск по сайту: