 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Ознака точки перегину
З приведеного вище міркування виходить, що абсциса точки перегину (точки х 2 на мал.11) розділяє два інтервали монотонності першої похідної, тобто є точкою екстремуму для першої похідної. Застосовуючи необхідну ознаку екстремуму, отримуємо:
Якщо х о – абсциса точки перегину, то або 
, або 
не існує.
3.2.10. Асимптоти ліній.
Коли вивчається поведінка функції при прагненні аргументу до нескінченності, доводиться мати справу з частинами графіка, що вирушають в нескінченність, тік званими безконечними гілками графіка. З безконечними гілками доводиться мати справу і тоді, коли розглядається поведінка функції поблизу точок розриву другого роду (безконечного розриву). Знання безконечних гілок функції необхідне для того, щоб правильно представити форму всього графіка і, отже, характер зміни функції у всій області її визначення.
Визначення. Пряма лінія називається асимптотою графіка функції 
, якщо відстань від крапки, лежачої на графіці до прямої, прагне до нуля при необмеженому видаленні крапки від початку координат. Слід розрізняти похилі, горизонтальні і вертикальні асимптоти.
Хай графік функції має похилу асимптоту (мал.9).
| Y |
| N |
| N1 |
| M |
| X |
| x |
| O |
| α |
Мал.9.
За визначенням асимптоти MN → 0 при х → ∞. Зручно замість відстані MN розглядати відстань MN 1,, тобто різниця ординат точки N 1, лежачої на кривій і точки M, лежачої на прямій. З мал..12. маємо 
при MN → 0 і
MN 1 → 0.
Якщо 
, *
Тоді лінія має похилу асимптоту 
.
Таким чином, питання про існування похилої асимптоти зводиться до питання про існування і відшукання чисел k і b.
На основі властивостей границі маємо:
,
де α (х) – величина нескінченно мала при х → ∞.
Останню рівність перепишемо у вигляді
.
Розділимо його на х і перейдемо до границі при х → ∞.
т.як. 
і 
, то
.
Із умови * знаходимо, що
Таким чином:
Якщо 
при х → ∞? прагне до кінцевої границі b, то лінія має асимптоту 
.
Зокрема, якщо функція прагне до кінцевої межі при х → ∞: 
,
тоді 
і лінія має горизонтальну асимптоту y = b. Якщо k та b дорівнюють нулю, тоді асимптотою є сама вісь ОХ.
Якщо хоч би одна з вказаних меж не існує, то лінія похилих асимптот не має. Асимптотична зміна функції може бути різною при прагненні х до позитивної або негативної нескінченності, тому слід окремо розглядати випадки х → + ∞ і х → – ∞.
Хай лінія має вертикальну асимптоту. Рівняння такої асимптоти буде х = х о, а тому, згідно з визначенням асимптоти, обов'язково 
при 
; назад, якщо точка х о є точка безконечного розриву функції 
, то пряма х = х о служить асимптотою лінії .
Взаємне розташування безконечної гілки лінії і її вертикальної асимптоти х = х о виявляється дослідженням знаку нескінченності (± ∞), до якої прагне , коли х прагне до х о, залишаючись менше х о, тобто зліва або, залишаючись більше х о, тобто справа. Може бути також, що графік наближається до асимптоти лише з однієї неї сторони.
Приклад
Знайти асимптоти функції:
1. 
; 2. 
.
1. .
Функція має розрив 2-го роду при х = 1 і х = - 1. Це є рівняння вертикальних асимптот. Досліджуємо поведінку функції в околицях цих точок.
. 
.
. 
.
Дослідимо, має функція похилу асимптоту чи ні:
. 
.
. 
.
Функція має похилу асимптоту y = x.
2. .
. т.е. .
.
Асимптот в даному випадну немає.
Поиск по сайту: