1.2.1. Границя функції f (x) якщо х стримиться до хо(х → хо).
Нехай змінна х безмірно наближається до хо. Це означає, що х приймає значення як завгодно близьке до хо, але не рівне цьому числу. Можливі наступні варіанти наближення аргументу х до точки хо.
1.х наближається до хо, залишаясь більшим ніж хо, т.е. зі сторони більших значень х, що записується так: х → хо +0.
х0
х5
х4
х3
х2
х1
2. х наближається до хо зі сторони менших значень, т.е. залишаясь меншим ніж хо, що записується: х → хо – 0.
х1
х3
х4
х5
х2
х0
3. х наближається до хо, приймая то більші то менші ніж хо значення.
х2
х4
х5
х6
х0
х7
х3
x1
Якщо значення функції f (x) наближається до якогось числа А, тоді кажуть, що число А є границею функції f (x) прі х → хо.
Визначення. Число А зветься границею функції f (x), якщо для усіх значень х як завгодно мало відрізняющихся від хо, відповідні значення функції як завгодно мало відрізняються від числа А.
Записується це так: .
Розглянемо геометричну інтерпретацію границі функції в точці (мал. 1).
Y
A + ε
A
A - ε
Xo - δ
Xo
Xo + δ
δ
δ
X
Мал.1
Для кожного ε > 0, як би мало воно не було, знайдеться δ > 0 таке, що для кожного х ≠ хо, задовольняючих умові хо – δ < х < хо + δ, має місце нерівність А – ε < f (x) < А + ε.
Визначення границі функції не потребує, щоб функція була визначена в самій граничній точці. Достатньо того, щоб вона була визначена біля хо.
Приклад 1. Розглянемо функцію . Функція визначена в всіх точках, окрім х = ½. Беремо х = 6. . При приближені х до 6 (справа або слева) 4х2 – 1 стримиться до 143, а знаменник до 11. Уся дріб стримиться до .
Число 13 (рівне значенню функції при х = 6) є границею функції при
х →6:
Пример 2. Розглянемо ту ж функцію , але беремо х = ½. Фцнкція в цій точці не визначена. Але границя функції при х → ½ існує, він дорівнює 2. Дійсно, не визначено тільки при х = ½, але при приближені х → ½ воно визначено і дорівнює 2 х + 1. Це можно довести:
Це вираження стримиться до числа 2, тому .
Графік функції є пряма uv (мал.. 2), без точки А (½, 2). Графік функції у = 2 х+ 1 є та ж пряма uv, але зі всіма точками.
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг(0.004 сек.)