Основні методи інтегрування

а) Метод безпосереднього інтегрування.

Використовуються таблиця інтегралів, властивості невизначеного інтегралу, перетворення виразів.

б) Метод підстановки або заміни змінної.

Використовується частіше всього коли підінтегральна функція є добутком (часткою) складної функції та похідної внутрішньої функції (с точністю до постійного коефіцієнту).

в) Метод інтегрування за частинами.

Використовується коли підінтегральна функція є добутком (часткою) ніяк не зв'язаних між собою функцій. Наприклад: алгебраїчної та тригонометричної, алгебраїчної та показникової.

3.3.6. Метод заміни змінної (метод підстановки)

На практиці представлені в таблиці інтеграли від елементарних функцій зустрічаються рідко. Проте у багатьох випадках, зробивши заміну змінною в подинтегральной функції Метод замены переменной (метод подстановки)

шуканий інтеграл можна привести до табличного вигляду.

Приклад 1. Знайти інтеграл .

Рішення. Зробимо заміну: 5х = t. Диференціюючи цю рівність, використовуючи формулу df(x)=f'(x)dx, отримуємо 5dx =dt, звідки dx = dt. Підставляємо у вихідний інтеграл:

.

Слід звернути увагу на те, що кінцевий результат повинен виражатися не через змінну t, а через вихідну змінну х.

Приклад 2. Знайти інтеграл .

Решение. Зробимо заміну: 3x + 4 = t. Диференціюючи цю рівність, отримуємо 3dx=dt, dx= dt. Тоді

Перевіримо правильність отриманого результату. Оскільки операції диференціювання і інтеграції - дві взаїмообратниє операції, то, продиференціювавши отримане вираження, ми повинні отримати подинтегральную функцію

що збігається з вихідною подинтегральной функцією. Значить, інтеграція вироблена правильно.

Приклад 3. Знайти інтеграл .

Рішення. Неважко відмітити, що в даному прикладі чисельник дробу дорівнює диференціалу знаменника. Це підказує заміну: х ³-1= t.. Тоді d(x ³ - 1 ) = dt, dx=dt і, отже

Приклад 4. Знайти інтеграл .

Рішення. Зробимо заміну: .
Тогда и . Таким образом,

Поиск по сайту: