|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
Розглянемо застосування визначеного інтеграла до найпростіших задач геометрії та механіки.
Площа плоскої фігури
Площа плоскої фігури, обмеженої кривою , , прямими , і віссю OX (рис.1,а) обчислюється за формулою . Якщо плоска фігура обмежена кривими , , на , прямими , , то площа такої фігури (рис.1,б) обчислюється за формулою . Площа плоскої фігури, обмеженої кривою, заданою в полярних координатах і двома полярними радіусами , (рис.1,в) обчислюється за формулою .
Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою , і локоном Аньєзі , . Для визначення меж інтегрування (абсциси , точок A і B) розв’яжемо систему: , З другого рівняння системи маємо , . Площу фігури обчислюємо за формулою (кв.од.). Зауваження. При обчисленні площі даної плоскої фігури можна було б врахувати симетрію фігури відносно осі OY і обчислити тільки половину площі , а результат подвоїти.
Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої кривою , . Фігура складається з двох рівновеликих частин (рис. З). Обчислимо площу однієї з них, а одержаний результат подвоїмо.
З побудови фігури маємо, що . Тоді ; (кв.од.).
Якщо крива на задана параметрично , , де , то площу обчислимо за формулою, яку одержимо, коли зробимо заміну , тобто ; a і b знайдемо з рівнянь , .
Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої астроїдою , .
Фігура, обмежена астроїдою, має дві осі симетрії — вісь OX і OY. Тому обчислимо тільки четверту частину її площі (рис.4). Межі інтегрування для змінної x: , . Підставивши значення x 1 і x 2 у співвідношення знайдемо межі інтегрування для змінної t: , , ; , маємо . , . Отже, .
(кв.од.).
Приклад. Обчислити площу фігури обмеженої лініями , , .
Рисунок 5.
Рівняння лінії запишемо у вигляді і зробимо паралельне перенесення початку системи координат у точку , тобто , тоді параметричні рівняння еліпса. З нерівності отримаємо . , означає , . Для обчислення площі скористаємося формулою , . Перейдемо до змінної t: , . Знайдемо нові межі інтегрування: , , , ; При , , , . Отже, .
(од. площі).
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.) |