АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Читайте также:
  1. Варіанти застосування методу. Порівняння з методом переміщень
  2. Види та особливості застосування митних режимів в Україні
  3. Визначення і застосування циклічного надлишкового коду.
  4. Визначення категорії “діапазон контролю”, наслідки його зменшення. Характеристики високої та пласкої структур управління (переваги, недоліки, сфери застосування).
  5. Гемодіаліз. Застосування штучної нирки
  6. Головні аспекти комплексної (інтегральної) соціальної ефективності застосування правових норм
  7. Дайте характеристику формам і системам заробітної плати , визначте їх призначення та умови застосування.
  8. Дезінфікуючих розчинів та їх застосування
  9. Для медичного застосування препарату
  10. Застосування визначеного інтеграла
  11. Застосування визначеного інтеграла

 

Розглянемо застосування визначеного інтеграла до найпростіших задач геометрії та механіки.

 

Площа плоскої фігури

 

Площа плоскої фігури, обмеженої кривою , , прямими , і віссю OX (рис.1,а) обчислюється за формулою .

Якщо плоска фігура обмежена кривими , , на , прямими , , то площа такої фігури (рис.1,б) обчислюється за формулою

.

Площа плоскої фігури, обмеженої кривою, заданою в полярних координатах і двома полярними радіусами , (рис.1,в) обчислюється за формулою

.

 

 

Приклад.

Обчислити площу фігури, обмеженої параболою , і локоном Аньєзі , .

Для визначення меж інтегрування (абсциси , точок A і B) розв’яжемо систему:

,

З другого рівняння системи маємо

,

.

Площу фігури обчислюємо за формулою

(кв.од.).

Зауваження. При обчисленні площі даної плоскої фігури можна було б врахувати симетрію фігури відносно осі OY і обчислити тільки половину площі

,

а результат подвоїти.

 

Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої кривою

, .

Фігура складається з двох рівновеликих частин (рис. З). Обчислимо площу однієї з них, а одержаний результат подвоїмо.

 

 

З побудови фігури маємо, що

.

Тоді

;

(кв.од.).

 

Якщо крива на задана параметрично , , де , то площу обчислимо за формулою, яку одержимо, коли зробимо заміну , тобто

;

a і b знайдемо з рівнянь , .

 

Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої астроїдою

, .

 

 

Фігура, обмежена астроїдою, має дві осі симетрії — вісь OX і OY. Тому обчислимо тільки четверту частину її площі (рис.4).

Межі інтегрування для змінної x: , . Підставивши значення x 1 і x 2 у співвідношення знайдемо межі інтегрування для змінної t:

, , ;

, маємо .

, .

Отже,

.

 

(кв.од.).

 

Приклад. Обчислити площу фігури обмеженої лініями , , .

 

Рисунок 5.

 

Рівняння лінії запишемо у вигляді

і зробимо паралельне перенесення початку системи координат у точку , тобто

, тоді

параметричні рівняння еліпса.

З нерівності отримаємо .

, означає , .

Для обчислення площі скористаємося формулою , .

Перейдемо до змінної t:

, .

Знайдемо нові межі інтегрування:

, , , ;

При , , , .

Отже,

.

 

(од. площі).

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (1.249 сек.)