Об’єми тіл обертання

Нехай функція неперервна і невід’ємна на відрізку . Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі OX плоскої фігури, обмеженої графіком функції , відрізками прямих , , , виразиться інтегралом або .

Якщо ж плоска фігура, обмежена лініями , , , , обертається навколо осі OY, то об’єм одержаного тіла обертання обчислюється за формулою

.

Приклад. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями і .

Лінії і і перетинаються в точках і .

Об’єм V утвореного тіла обертання знаходимо як різницю об’ємів , де V ₁ — об’єм тіла, утвореного обертанням трикутника OAB навколо осі OX, а V ₂ — об’єм тіла, що одержується при обертанні навколо осі OX криволінійної трапеції, обмеженої лініями , , .

.

Отже, (куб. од.).

Нехай, тіло розміщене в просторі між площинами і кожний переріз цього тіла площиною, перпендикулярною до осі , має площу , де — інтегровна на функція. Об’єм такого тіла можна обчислити за формулою . Аналогічні формули матимуть місце, якщо замість осі взяти або .

Приклад. Обчислити об’єм тіла, обмеженого еліптичним параболоїдом і площиною .

Кожний переріз тіла площиною, перпендикулярною до осі , єеліпсом. В перерізі довільною площиною маємо еліпс

або

Як відомо, площа еліпса обчислюється за формулою . Тому .

Отже,

, (куб.од.).

Площа поверхні обертання

Якщо крива задана на відрізку обертається навколо осі , то площу отриманої поверхні обертання можна обчислити за формулою

або .

У випадку, коли крива задана у параметричному вигляді , де задані функції на відрізку , площа поверхні обертання знаходиться за формулою .

Якщо крива задана рівнянням у полярній системі координат , то .

Приклад. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі OX кривої .

Скористаємося формулою . Знайдемо . Тоді відповідно отримаємо

, (кв. од.).

Поиск по сайту: