Деякі задачі механіки та фізики

Розглянемо застосування визначених інтегралів до деяких задач фізики та механіки.

Приклад. Знайти координати центра маси плоскої фігури, обмеженої кривими і .

Координати центра маси плоскої фігури, обмеженої кривими і прямими обчислюються за формулами , де — площа плоскої фігури, по якій рівномірно розподілена маса постійної густини (якщо не оговорено його значення, то величину переважно приймають за 1); — статичні моменти плоскої фігури відносно осі , відповідно. Вони визначаються за формулами:

,

.

Якщо плоска фігура має вісь симетрії та рівномірну структуру по густині , то центр маси знаходиться на цій осі.

Плоска фігура, обмежена вказаними кривими і симетрична відносно бісектриси І-ого координатного кута , тому .

Обчислимо статичний момент і площу , маючи на увазі, що

.

;

.

Тоді .

Таким чином, центр маси даної плоскої фігури знаходиться у точці .

Приклад. Знайти центр маси кола , розміщеного у І-й чверті декартової системи координат.

Запишемо рівняння кола в параметричній формі:

.

Координати центра маси довжини дуги , де , обчислюється за формулами: . Статичні моменти лінії дуги при умові, що густина і маса рівномірно розподілені по довжині лінії , обчислюється за формулами:

.

Довжину дуги визначимо через інтеграл , тобто

.

,

.

В результаті отримаємо . Центр маси дуги кола знаходиться у точці з координатами .

При розв’язанні деяких задач фізичного змісту та задач механіки визначають елемент , досліджуваної величини , котрий наближено відповідає проміжку . Точне значення параметра отримують при інтегруванні в межах від до .

Приклад. Знайти кінетичну енергію пластинки, яка має форму параболічного сегмента і обертається навколо осі параболи з постійною швидкістю . Основа сегмента , висота , товщина , густина матеріалу .

Кінетична енергія тіла, яке обертається навколо деякої осі з кутовою швидкістю , рівна , де — момент інерції тіла відносно осі обертання.

На відстані від осі обертання (в даному випадку вісь ) виділимо смугу шириною і приймемо її форму за прямокутну. Момент інерції цієї елементарної смужки буде рівний , де — елементарна маса смужки шириною , висотою і товщиною . Тому .

Для визначення складемо рівняння параболи, симетричної відносно осі , яка проходить через точку , тобто . Звідки отримаємо

і , або .

Тоді .

Кінетична енергія смужки буде визначатись як

,

а кінетична енергія всього параболічного сегменту як

; .

Приклад. Обчислити роботу, яку необхідно витратити на викачування води із котла, який має форму півкулі з радіусом .

Робота, необхідна для підняття тіла масою на висоту , рівна , де —прискорення вільного падіння тіла. Але різні шари води знаходяться на різній глибині і, звичайно, робота по їх викачуванню буде різною. Підрахуємо роботу , необхідну для підняття шару води висотою , який знаходиться на глибині від вільної поверхні води.

Наближено будемо вважати шар води циліндричним тілом, радіус якого , висота , густина . Тоді

.

Радіус елементарного шару знайдемо з рівняння кола, отриманого в перерізі — . Тому . Вся робота , яку необхідно виконати для відкачки води, буде рівна

; .

Поиск по сайту: