Методи обчислення визначених інтегралів

При обчисленні визначених інтегралів, як і невизначених, широко користуються методом заміни змінної (або методом підстановки) і методом інтегрування частинами:

Теорема 1. Нехай виконуються умови:

1) функція неперервна на відрізку ;

2) функція і її похідна неперервні на відрізку ;

3) , і ; .

Тоді справджується рівність

. (22)

Формула (22) називається формулою заміни змінної (або підстановки) у визначеному інтегралі

Зауваження 1. Якщо при обчисленні невизначеного інтеграла заміною у первісній функції необхідно було від змінної t повернутися до змінної x, то при обчисленні визначеного інтеграла замість цього треба змінити межі інтегрування. Нижня межа a знаходиться як розв’язок рівняння відносно невідомого t, а верхня межа b — з рівняння .

Якщо функція не монотонна, то може статися, що ці рівняння дадуть кілька різних пар a і b, які задовольняють умови теореми 1. В цьому випадку можна взяти будь-яку з таких пар.

Зауваження 2. Часто замість підстановки застосовують підстановку . У цьому випадку нові межі інтегрування визначаються безпосередньо: , . Проте тут слід мати на увазі, що функція , обернена до функції , має, як і раніше, задовольняти всі умови теореми 1. Зокрема, функція в межах інтегрування має бути означеної неперервно диференційовною функцією t і при зміні t від a до b змінна має змінюватися від a до b.

Найзручніше виконувати заміну монотонно диференційовними функціями. Такі функції гарантують однозначність як прямої, так і оберненої функцій.

Теорема 2. Якщо функції і мають на відрізку неперервні похідні, то справедлива формула

. (23)

Оскільки функція є первісною функції , то за формулою Ньютона–Лейбніца дістанемо

.

Скориставшись лінійністю визначеного інтеграла, дістанемо формулу (23).

Формула (23) називається формулою інтегрування частинами визначеного інтеграла.

Поиск по сайту: