АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Означення та умови існування визначеного інтеграла

Читайте также:
  1. A. Дату, місце, розмір зони затоплення, метеоумови, наявність під’їзних шляхів.
  2. Блок 8-9. КЛІМАТИЧНІ УМОВИ ТА РЕСУРСИ.
  3. Взаємопов'язаність і передумови вирішення глобальних проблем
  4. Вихрострумовий контроль.
  5. Відредагуйте подані висловлювання, звертаючи увагу на позначення часу і дати.
  6. Грошово-кредитне регулювання економіки за умови гнучкого обмінного курсу та високої мобільності капіталу.
  7. Грошово-кредитне регулювання економіки за умови фіксованого обмінного курсу та високої (низької)мобільності капіталу.
  8. ҐРУНТОВО-КЛІМАТИЧНІ УМОВИ ТА ОРГАНІЗАІДЙНО-ЕКОНОМІЧНА ХАРАКТЕРИСТИКА ГОСПОДАРСТВА
  9. Дайте характеристику формам і системам заробітної плати , визначте їх призначення та умови застосування.
  10. ДЕМОГРАФІЧНІ ПЕРЕДУМОВИ РОЗМІЩЕННЯ ПРОДУКТИВНИХ СИЛ
  11. Джерела і передумови інформатики
  12. Дидактичні умови використання історичних портретів видатних українських особистостей під час вивчення історії України у 7 класі

Визначений інтеграл

 

Задача про площу криволінійної трапеції. Нехай на відрізку задано функцію . Фігура aABb (рис. 1) обмежена графіком даної функції і відрізками прямих , , , називається криволінійною трапецією. Обчислити площу S цієї трапеції.

Розіб’ємо відрізок за допомогою точок на n частинних відрізків , , 2, …, n.

На кожному з цих відрізків візьмемо довільну точку і обчислимо значення . Тоді добуток , де , дорівнює площі прямокутника з основою і висотою , а сума цих добутків — площі ступінчатої фігури і наближено дорівнює площі криволінійної трапеції:

.

Із зменшенням усіх величин точність цієї формули збільшується, тому природно за площу криволінійної трапеції вважати границю площ ступінчатих фігур за умови, що максимальна довжина частинних відрізків прямує до нуля:

. (1)

Рис. 1

 

Означення та умови існування визначеного інтеграла

 

Нехай функція визначена на відрізку , . Розіб’ємо цей відрізок на n довільних частин точками:

.

Сукупність точок x 0, x 1,…, xn позначимо через τ і назвемо τ — розбиттям відрізка .

На кожному частинному відрізку , , 2,…, n, візьмемо довільну точку і побудуємо суму

, (2)

де — довжина відрізка .

Сума (2) називається інтегральною сумою функції , яка відповідає τ –розбиттю відрізка на частинні відрізки і даному вибору проміжних точок .

Геометричний зміст інтегральної суми: якщо , то число дорівнює площі ступінчатої фігури (рис. 1), тобто сумі площ n прямокутників з основами і висотами .

Позначимо через l довжину найбільшого частинного відрізка τ –розбиття і назвемо його діаметром цього розбиття:

.

Якщо існує скінченна границя інтегральної суми (2) при , яка не залежить ні від τ –розбиття, ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом . Отже, згідно з означенням,

. (3)

У цьому випадку функція називається інтегровною на відрізку . Числа a і b називаються відповідно нижньою і верхньою межею інтегрування; функція називається підінтегральною функцією; — підінтегральним виразом; x — змінною інтегрування; — проміжком інтегрування.

Можна сказати, що:

1) площа S криволінійної трапеції, обмеженої прямими , , і графіком функції , дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції:

. (2)

У цьому полягає геометричний зміст інтеграла: назначений інтеграл від невід’ємної функції чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції;

2) робота A змінної сили , яка діє на відрізку , дорівнює визначеному інтегралу від сили:

; (5)

3) шлях s, пройдений точкою за проміжок часу від до , дорівнює визначеному інтегралу від швидкості :

. (6)

Ця формула характеризує фізичний зміст визначеного інтеграла;

4) маса m неоднорідного стержня на відрізку дорівнює визначеному інтегралу від густини ;

/ (7)

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)