|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Означення та умови існування визначеного інтегралаВизначений інтеграл
Задача про площу криволінійної трапеції. Нехай на відрізку задано функцію . Фігура aABb (рис. 1) обмежена графіком даної функції і відрізками прямих , , , називається криволінійною трапецією. Обчислити площу S цієї трапеції. Розіб’ємо відрізок за допомогою точок на n частинних відрізків , , 2, …, n. На кожному з цих відрізків візьмемо довільну точку і обчислимо значення . Тоді добуток , де , дорівнює площі прямокутника з основою і висотою , а сума цих добутків — площі ступінчатої фігури і наближено дорівнює площі криволінійної трапеції: . Із зменшенням усіх величин точність цієї формули збільшується, тому природно за площу криволінійної трапеції вважати границю площ ступінчатих фігур за умови, що максимальна довжина частинних відрізків прямує до нуля: . (1) Рис. 1
Означення та умови існування визначеного інтеграла
Нехай функція визначена на відрізку , . Розіб’ємо цей відрізок на n довільних частин точками: . Сукупність точок x 0, x 1,…, xn позначимо через τ і назвемо τ — розбиттям відрізка . На кожному частинному відрізку , , 2,…, n, візьмемо довільну точку і побудуємо суму , (2) де — довжина відрізка . Сума (2) називається інтегральною сумою функції , яка відповідає τ –розбиттю відрізка на частинні відрізки і даному вибору проміжних точок . Геометричний зміст інтегральної суми: якщо , то число дорівнює площі ступінчатої фігури (рис. 1), тобто сумі площ n прямокутників з основами і висотами . Позначимо через l довжину найбільшого частинного відрізка τ –розбиття і назвемо його діаметром цього розбиття: . Якщо існує скінченна границя інтегральної суми (2) при , яка не залежить ні від τ –розбиття, ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом . Отже, згідно з означенням, . (3) У цьому випадку функція називається інтегровною на відрізку . Числа a і b називаються відповідно нижньою і верхньою межею інтегрування; функція називається підінтегральною функцією; — підінтегральним виразом; x — змінною інтегрування; — проміжком інтегрування. Можна сказати, що: 1) площа S криволінійної трапеції, обмеженої прямими , , і графіком функції , дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції: . (2) У цьому полягає геометричний зміст інтеграла: назначений інтеграл від невід’ємної функції чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції; 2) робота A змінної сили , яка діє на відрізку , дорівнює визначеному інтегралу від сили: ; (5) 3) шлях s, пройдений точкою за проміжок часу від до , дорівнює визначеному інтегралу від швидкості : . (6) Ця формула характеризує фізичний зміст визначеного інтеграла; 4) маса m неоднорідного стержня на відрізку дорівнює визначеному інтегралу від густини ; / (7)
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |