Визначення і застосування циклічного надлишкового коду

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

До лабораторної роботи з курсу

“Проблемно-орієнтовані методи та засоби інформаційних технологій”

для студентів базового напрямку 6.0305 “Філологія”

Затверджено

на засіданні кафедри

“Системи автоматизації проектування”

Протокол № 8 від 26.02.2002 р.

Львів – 2007

Методи завадостійкого кодування: циклічні коди: Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Проблемно-орієнтовані методи та засоби інформаційних технологій” для студентів базового напрямку 6.0305 “Філологія”.

/Укл.: В.В. Мазур. – Львів: Видавництво Національного університету“Львівська політехніка”, 2007. - 10 с.

Укладач Мазур В.В., канд. техн. наук, доц.

Відповідальний за випуск Ткаченко С.П., канд. техн. наук, доц.

Рецензент Тимощук П.В., докт. техн. наук., доц.

МЕТА РОБОТИ

Мета роботи - вивчення методiв завадостійкого кодування (циклічні коди) та особливостей їх програмної і апаратурної реалiзацiї.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Побудова і застосування циклічних кодів.

Коди називаються циклічними, якщо частина чи всі дозволені кодові комбінації для них можуть бути отримані шляхом циклічного зсуву однієї або кількох комбінацій. Циклічний зсув здійснюється справа наліво, причому крайній лівий символ переноситься в кінець комбінації. Циклічні коди відносяться до лінійних блочних кодів.

Побудова циклічних кодів базується на використанні неприводимих у полі двійкового числа поліномів. Неприводимі поліноми діляться без остачі тільки на себе і на одиницю.

Корекція помилок в циклічних кодах базується на тому, що дозволені комбінації коду мають ділитися без остачі на деякий утворюючий поліном, який вибирається з набору неприводимих.

Для отримання циклічного коду для заданої комбінації інформаційних бітів (наприклад, I(x)=x³+x²+1=1101) вона домножується на одночлен тієї ж степені (n=3), що і утворюючий поліном (K(x)=x³+x+1=1011). Це еквівалентно приписуванню n нулів справа у двійковому представлення коду (I(x)*xⁿ=(x³+x²+1)*x³= x⁶+x⁵+x³=1101000).

Значення коректуючих розрядів знаходимо в результаті ділення I(x)*x³ на K(x)

I(x)*x³ / K(x)=x⁶+x⁵+x³/(x³+x+1)= x³+x²+x+1+1/(x³+x+1)

або у загальному випадку

I(x)*xⁿ/K(x)=Q(x)+R(x)/K(x)

де: Q(x) - частка, а R(x) - остача.

F(x)=Q(x)*K(x)=I(x)*xⁿ+R(x)

Для нашого прикладу

F(x)=(x³+x²+x+1)*(x³+x+1)=(x³+x²+1)*x³+1

або

F(x)=1111*1011=1101001=1101000+001

Це і буде кодова комбінація, яка визначалась. Причому, 1101 – інформаційна частина, а 001 – контрольна.

Як початкові беруться комбінації одиничної матриці. В результаті знаходження остачі можемо знайти утворюючу матрицю. Сумуванням по модулю 2 всіх можливих поєднань рядків утворюючої матриці знаходимо решту комбінацій циклічного коду.

Для знаходження і виправлення помилок в циклічних кодах отримані після передачі по каналу зв’язку комбінації діляться на утворюючий поліном для знаходження остачі. При діленні для бітів використовується не віднімання, а операція XOR. Циклічний зсув отриманої комбінації і ділення на утворюючий поліном здійснюють до тих пір поки кількість одиниць в остачі буде менша або рівна значенню коректуючої властивості коду (в нашому випадку виявляється і коректується одна помилка у коді). При цьому, якщо остача рівна нулю, то кодова комбінація правильна, а якщо не рівна нулю, то сума (по модулю 2) остачі з отриманою кодовою комбінацією дасть правильну кодову комбінацію.

Утворюючий поліном відповідної степені вибирається з таблиць, приведених в літературі, на основі відомої довжини інформаційної частини коду. Наприклад для інформаційної частини довжиною чотири біти утворюючий поліном має степінь 3 і може приймати значення 1011 або 1101. Для позначення кодів використовується пара (j.k), де: j – загальна довжина коду, а k – довжина контрольної частини (наприклад (7.3)).

Приклад побудови циклічного коду і виявлення та виправлення поодинокої помилки. Нехай інформаційна частина коду (7.3) рівна 1101. Дописуємо справа три нулі на місце контрольних розрядів (степінь утворюючого полінома n=3) і ділимо отриману бітову послідовнисть на утворюючий поліном для знаходження остачі (рис.1 а). Потім замінюємо контрольні розряди розрядами остачі і отримуємо потрібну кодову комбінацію, яка тепер ділиться на утворюючий поліном без остачі (рис 1 б). У відповідності із властивістю циклічних кодів всі коди отримані в результаті циклічного зсуву початкового теж діляться без остачі на утворюючий поліном (рис.1 в-г). При внесенні помилки в один із розрядів отриманого коду, наприклад в п’ятий (розряди нумеруються справа наліва від 0 до 6), в результаті ділення на утворюючий поліном остача буде нерівна нулю, що вказує на наявність помилки (рис.1 д). Помилковий код циклічно зсувається і ділиться на утворюючий поліном до тих пір поки не отримаємо остачу з одиницею в останньому розряді (рис.1 е-ж). Після цього здійснюється корекція коду і циклічний зсув у зворотньому напрямку (рис.1 з).

а б в г

1101000/1011 1101001/1011 1010011/1011 … 0110100/1011

1011 1011 1011 1011

------ ------ ------ ------

1100 1100 1011 1011

1011 1011 1011 1011

------ ------ ------ ------

1110 1110 0 0

1011 1011

------ ------

1010 1011

1011 1011

------ ------

1 0

д е ж з

1001001/1011 0010011/1011 0100110/1011 0100111

1011 1011 1011

------ ------ ------ 1010011

1000 101 1010

1011 1011 1101001

------ ------

110 1

Рис. 1. Побудова циклічного коду і виправлення помилки.

Визначення і застосування циклічного надлишкового коду.

Розглянуті циклічні коди забезпечують виявлення і корекцію помилок, однак це вимагає певних затрат (контрольна частина займає значну частину результуючого коду). В той же час при значній інтенсивності завад можливі багатократні і групові помилки для виявлення і виправлення яких потрібно збільшувати кількість контрольних розрядів та ускладнювати методи їх визначення. Тому у цьому випадку доцільно здійснювати тільки перевірку блоків переданої інформації і при наявності помилок не коректувати їх, а повторно передавати один або кілька блоків. Це може суттєво зменшити затрати часу. Варто зауважити, що при низькому рівні завад і відсутності помилок контрольна частина все одно передається, а при високому рівні завад контрольна частина не завжди забезпечує виявлення і корекцію помилок.

Елементарним методом виявлення непарної кількості помилок у байті є контроль парності та непарності, тобто підрахунок кількості одиничних розрядів і доповнення її до парної чи непарної з виділенням одного додаткового розряду для збереження значення доповнення. Хоча цей метод не забезпечує виявлення парної кількості помилок він широко застосовується (наприклад у протоколі RS-232C).

Для збільшення кількості виявлених помилок і забезпечення надійності передачі інформації використовуються більш складні методи. Найпоширенішим з них є застосування циклічного надлишкового коду (CRC). Визначення CRC базується на принципах побудови циклічних кодів і є різновидністю хешування, тобто відображенням множини розрядів інфор-маційного блоку (розміром 128-1024 байт) на меншу множину розрядів коду CRC (16 аба 32 біти). Очевидно, що при такому відображенні однакове значення CRC може відповідати кільком різним варіантам інформаційних блоків, однак імовірність перетворення одного варіанта блока в інший за рахунок спотворення кодів завадами є дуже малою.

Визначення CRC здійснюється так само як і визначення остачі в циклічних кодах. При цьому значення утворюючого полінома для CRC-16 береться x ¹⁶+ x ¹⁵+ x ²+1 або 11000000000000101₂, а для CRC-32 – x ³² +x ²⁶ +x ²³ +x ²² +x ¹⁶ +x ¹² +x ¹¹ +x ¹⁰ +x ⁸ +x ⁷ +x ⁵ +x ⁴ +x ² +x ¹+1 або 100000100110000010001110110110111₂. Інколи використовуються і інші утворюючі поліноми. Значення CRC долучається до блоку інформації і передається у канал зв’язку. Після прийому отримана послідовність бітів ділиться на утворюючий поліном і здійснюється контроль переданої інформації на наявність помилок. При виявленні помилок (остача не рівна нулю) формується відповідний запит і спотворені завадами блоки передаються повторно.

З метою збільшення швидкодії визначення CRC може здійснюватися апаратурно на основі регістрів зсуву та суматорів по модулю 2 (операція XOR). Схема ділення на поліном для CRC-16 приведена на рис. 2.

Рис. 2. Апаратурне визначення CRC.

Приклад визначення циклічного надлишкового коду представлений на рис 3.

11100001011010110000000000000000/11000000000000101

-------------------------

-------------------------

-------------------------

--------------------------

-------------------------

-------------------------

-------------------------

-------------------------

-------------------------

------------------------- Код для передачі по каналу зв’язку

Остача 100011101110110 1110000101101011100011101110110

Рис. 3. Визначення циклічного надлишкового коду.

Поиск по сайту: