|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Знаходження оцінок параметрів регресії методом найменших квадратівРОЗДІЛ 1. ЛІНІЙНА РЕГРЕСІЯ
Проста лінійна регресія
Опис моделі Припустимо, що існують дві змінні x i y, де x - незалежна змінна (регресор), y - залежна змінна. Співвідношення між цими змінними позначимо: y = f (x). Будемо розрізняти детерміновані і статистичні співвідношення. При статистичному співвідношенні кожному значенню x відповідає не єдине значення y, але залежну змінну y можливо точно описати у імовірнісних термінах. Припустимо, що функція f(x) лінійна за x, тобто f(x) = a + b x, а співвідношення між x та y є статистичним, а саме
y = a + b x + e, (1.1)
де доданок e називається збуренням або похибкою і має відомий імовірносний розподіл (тобто є випадковою величиною). В рівнянні (1.1) a + b x є детермінованим компонентом, збурення e є випадковим або стохастичним компонентом; a і b називаються регресійними коефіцієнтами або параметрами регресії, які потрібно оцінити на основі даних про x та y. Нехай ми маємо n пар значень
yi = a + b xi + e(1.2) Наша мета - знайти оцінки невідомих параметрів a та b в рівнянні (1.2) на основі n спостережень x та y. Щоб це зробити ми повинні накласти деякі умови щодо збурень e i. 1. Нульове середнє: Ee i = 0, 2. Рівність дисперсій (гомоскедастичність): De i = E 3. Незалежність збурень: e і та e j незалежні при 4. Незалежність збурень та регресора: xi та e j незалежні для всіх i та j. Якщо xi вважаються невипадковими, то дане припущення виконано автоматично. В деяких випадках будемо накладати додаткове припущення (ми будемо вказувати в тексті, для виконнання яких результатів воно необхідно): 5. Нормальність. Збурення e i нормально розподілені для всіх i. Взявши до уваги припущення 1-3, ми можемо сказати, що e i – незалежні нормально розподілені випадкові величини з нульовим математичним сподіванням і однаковими дисперсіями s2, або Отже, модель простої лінійної регресії описується за допомогою рівнянь (1.2), збурення в яких задовольняють припущенням 1 – 5. Оскільки Ee i = 0, то з рівняння (1.2) маємо E(yi) = Друге припущення означає,що для кожного спостереження дія випадкових факторів в середньому однакова. Третє припущення означає, що для кожного спостереження випадкові фактори діють незалежно.
Знаходження оцінок параметрів регресії методом найменших квадратів Нехай
Позначимо на координатній площині точки Щоб мінімізувати вираз (1.3), запишемо необхідну умову екстремуму, тобто прирівняємо похідні відносно
звідки
і
звідки
Система рівнянь (1.4) і (1.5) називається системою нормальних рівнянь. Уведемо такі позначення:
Нехай Sxx > 0. Запишемо розв’язок системи нормальних рівнянь відносно
Розділимо чисельник і знаменник виразу (1.6) на n. Враховуючи уведені позначення, остаточно одержимо:
Якщо обчислити матрицю других похідних для Q, то можна побачити, що ця матриця додатньо визначена, отже значення (1.7) дійсно мінімізують (1.3). Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |