Раздел II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

МАТЕМАТИКА

Сборник контрольных заданий

Часть I,II

Челябинск

Издательский центр ЮУрГУ

Одобрено

учебно-методической комиссией

факультета математики, механики и компьютерных наук

Рецензенты:

Математика: сборник контрольных работ для студентов заочной формы обучения экономических направлений / О.К. Сибагатуллина, М.А. Корытова. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2015. – 45 с.

Учебное пособие содержит контрольные работы, методические указания и теоретический материал, соответствующий программе по математическим дисциплинам 1 и 2 семестра экономических направлений.

Пособие предназначено для студентов заочной формы обучения первого курса экономических направлений и специальностей: 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом», 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление», 38.03.05 «Бизнес-информатика», 38.03.06 «Торговое дело».

Раздел I. Линейная алгебра

Раздел включает в себя задачи на выполнение действий над матрицами (сложение (вычитание), умножение на число, умножение матриц), решение систем методами Жордана – Гаусса и Крамера.

Задача 1.1.

Выполнить действия с матрицами (номер примера соответствует варианту):

1) ; 11) ;

2) ; 12) ;

3) ; 13) ;

4) ; 14) ;

5) ; 15) ;

6) ; 16) ;

7) ; 17) ;

8) ; 18) ;

9) ; 19) ;

10) ; 20) .

Пример 1.1.

Выполнить действия с матрицами: .

Решение: Для решения данной задачи студент должен научиться складывать, перемножать матрицы и умножать матрицу на число. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из – строк и – столбцов. Умножение матриц проводится по правилу «строчка на столбец». Перемножать матрицы можно только тогда, когда количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы. При умножении – ой строки первой матрицы на – ый столбец второй матрицы первый элемент строки умножается на первый элемент столбца, второй элемент строки умножается на второй элемент столбца, последний элемент строки умножается на последний элемент столбца, все попарные произведения складываются. Это суммарное число располагается в – ой строке, – ом столбце в полученной матрице произведения. Умножение матрицы на число осуществляем следующим образом: каждый элемент матрицы умножается на число . Складываем матрицы только одинаковых размеров, причем складываем соответствующие элементы матриц.

Перейдем к решению задачи. Сначала выполним умножение матриц

.

Затем умножим матрицу на число:

.

Теперь сложим полученные матрицы:

.

Ответ: .

Задача 1.2.

Решить системы методом Жордана – Гаусса и по формулам Крамера (номер примера соответствует варианту):

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

Пример 1.2.

Решить систему методом Жордана – Гаусса и по формулам Крамера:

Решение: Систему требуется решить двумя способами. Сначала применим формулы Крамера. Для этого студент должен научиться вычислять определитель третьего порядка. Определители выделяются прямыми скобками. Определитель третьего порядка для матрицы размера вычисляется следующим образом:

.

Перейдем к решению задачи. Записываем матрицу системы, , элементами, которой являются коэффициенты при неизвестных , и . Обозначим – определитель матрицы , – определитель, в котором первый столбец матрицы заменен на столбец свободных членов системы, – определитель, в котором второй столбец матрицы заменен на столбец свободных членов системы, – определитель, в котором третий столбец матрицы заменен на столбец свободных членов системы.

Вычислим их:

По формулам Крамера можем найти неизвестные , , , так как :

; ; .

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему: все верно.

Ответ: .

Приступим к решению системы методом Жордана – Гаусса. Для этого студент должен изучить алгоритм решения данного метода (жорданово исключение) и необходимо уметь складывать, умножать числа. Пусть дана система линейных уравнений

.

Алгоритм метода Жордана–Гаусса:

1) Выписать матрицу . Она состоит из коэффициентов при неизвестных, дополненная столбцом свободных членов системы, такая матрица называется расширенной матрицей системы.

2) В матрице выбрать отличный от нуля элемент (удобнее брать единицу), но выбирать в столбце свободных членов нельзя. Этот элемент называется ведущим элементом, – й столбец матрицы называется ведущим столбцом, а – я строка – ведущей строкой.

3) Выполнить жорданово исключение. Жордановым исключением с ведущим элементом называется переход от матрицы к матрице того же размера, осуществляемый по следующим правилам:

– помечается ведущая строка;

– все элементы ведущей строки делятся на ;

– все остальные элементы ведущего столбца заменяются нулями;

– остальные элементы матрицы (, ) вычисляются по формуле «правило прямоугольника»

.

Изобразим это правило схематически. Ведущий элемент будем выделять рамкой . Стрелками показаны элементы, которые перемножаются в числителе дроби. Эти элементы расположены на диагоналях прямоугольника, образованного ведущим элементом , пересчитываемым элементом и элементами, которые находятся на пересечении ведущей строки и строки № , ведущего столбца и столбца №

.

4) Если хотя бы одна строка имеет вид: , , то система решений не имеет. Ответ. Система несовместна.

5) Если все ненулевые строки матрицы отмечены, то система, ей соответствующая, является системой с единичным базисом. Ответ. Система имеет единственное решение.

6) Выбрать ведущий элемент в любой неотмеченной строке и в любом столбце (кроме последнего). Перейти к пункту 3.

Перейдем к решению задачи. Выпишем расширенную матрицу системы и берем за ведущий элемент третий строки. Перепишем без изменения ведущую строку (так как, поделив её на ведущий элемент , ведущая строка не изменилась). Все элементы первого столбца, кроме ведущего элемента, заменим нулями. Применив правило прямоугольника, заполняем до конца матрицу. Рассмотрим некоторые элементы, вычислив по правилу прямоугольника

;

(в матрице выделены чертой), . В полученной матрице выберем за ведущий элемент . Перепишем без изменения вторую строку, а все элементы второго столбца, кроме ведущего элемента, заменим нулями. Применив правило прямоугольника, заполняем до конца матрицу . Ведущие элементы были выбраны в третьей и во второй строках, осталось выбрать в первой строке. Для этого первую строчку умножим на , получим матрицу . Перепишем без изменения первую строку, а все элементы третьего столбца, кроме ведущего элемента, заменим нулями. Применив правило прямоугольника, заполняем до конца матрицу, получаем . Все ненулевые строки отмечены, значит, полученная расширенная матрица соответствует системе с единичным базисом: . Система имеет единственное решение.

Проверка:

, все верно.

Ответ: .

Раздел II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра

Поиск по сайту: