Раздел III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

В данный раздел включены основные типы задач, которые рассматриваются в теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»: вычисление производной явно заданных функций, нахождение наибольшего и наименьшего значений функций на отрезке, приведены задачи на применение дифференциального исчисления к исследованию функций и текстовым задачам. Отметим, что раздел содержит задачи с экономическим содержанием, при решении которых необходимо применить сведения, полученные при изучении данной темы. При решении задач этого раздела необходимо знать правила дифференцирования и таблицу производных; рекомендуется повторить теоретический материал, рассмотренный на лекциях по данной теме.

Задача 3.1.

Вычислить производные функций (номер примера соответствует варианту):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Пример 3.1. Вычислить производные функций: , , , .

Решение: Решая данную задачу, студент должен знать всю таблицу производных и правила нахождения производной явно заданных функций. Напомним некоторые формулы и правила нахождения производной:

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
	(6)
	(7)
	(8)
	(9)
	(10)
	(11)
	(12)
	(13)

Найдем производную первой функции в соответствии с формулами (2), (3) и (11):

.

Найдем производную второй функции в соответствии с формулами (1), (2), (10) и (12):

,

вычислив производную, упростили дробь.

Найдем производную третьей функции в соответствии с формулами (4), (6), (10) и (13):

.

Найдем производную четвертой функции в соответствии с формулами (1), (2), (10) и (13):

.

Задача 3.2.

Найти наименьшие и наибольшие значения функции на заданном отрезке (номер примера соответствует варианту):

1.	11.
2.	12.
3.	13.
4.	14.
5.	15.
6.	16.
7.	17.
8.	18.
9.	19.
10.	20.

Пример 3.2.

Найти наименьшие и наибольшие значения функции на заданном отрезке: .

Решение: Функция определена на заданном отрезке по условию задачи.Вычислим производную данной функции: , применив формулу (2) из предыдущего примера 1.1. Найдем точки, в которых производная функции равна нулю

, : 3

.

Полученные точки принадлежат заданному отрезку. Следовательно, определим значение функции в найденных точках и на концах заданного отрезка и выберем среди них наибольшее и наименьшее

,

,

.

Ответ: – наименьшее значение функции, – наибольшее значение функции.

Задача 3.3.

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график (номер примера соответствует варианту):

1.	11.
2.	12.
3.	13.
4.	14.
5.	15.
6.	16.
7.	17.
8.	18.
9.	19.
10.	20.

Пример 3.3.

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график: .

Решение: Чтоб решить данную задачу, студенту необходимо знать план полного исследования функции и уметь строить графики в декартовой системе координат в заданном масштабе.

Проведем полное исследование функции по следующему плану:

1) Область определения

.

2) Четность и нечетность

Найдем : поскольку , значит, функция является четной. Следовательно, график функции симметричен относительно оси .

3) Точки пересечения с осями координат

С осью : , т.е. необходимо решить уравнение

,

,

.

Три точки пересечения с осью : , , .

С осью : , т.е. в уравнение функции вместо аргумента подставим значение ноль и получим . Точка пересечения с осью : .

4) Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем производную первого порядка исследуемой функции

.

Найдем точки, в которых производная обращается в ноль, и отметим их на

числовой прямой (рис.1)

, , .

Рис.1

Проверим знак первой производной функции в каждом из полученных промежутков

> ,

< ,

> ,

< .

Если значение производной функции на промежутке отрицательно, то функция убывает, если положительно, то функция возрастает. Точка, в которой производная меняет знак, является точкой экстремума. Причем, если производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то эта точка является точкой максимума (точкой минимума). Следовательно

функция убывает при ,

функция возрастает при ,

, ,

, .

Три точки экстремума с координатами: – точка минимума, , – точки максимума.

5) Промежутки выпуклости вверх и вниз, точки перегиба

Найдем производную второго порядка исследуемой функции

.

Найдем точки, в которых вторая производная обращается в ноль, и отметим их на числовой прямой (рис.2)

,

Рис.2

Проверим знак второй производной функции в каждом из полученных промежутков

< ,

> ,

< .

Если значение второй производной функции на промежутке отрицательно, то функция выпукла вверх, если положительно, то функция выпукла вниз. Точка, в которой производная меняет знак, является точкой перегиба. Следовательно

функция выпукла вверх при ,

функция выпукла вниз при ,

.

Две точки перегиба с координатами и .

6) Асимптоты

Функция определена на всей числовой прямой, значит, вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты находим в виде , где и . Если значения этих пределов существуют, то у функции есть наклонные асимптоты, если не существуют, то у функции наклонных асимптот нет.

Найдем для исследуемой функции, вычислив предел по правилу Лопиталя:

.

Следовательно, наклонных асимптот нет.

7) График

Согласно проведенному исследованию, построим график функции (рис.3)

Рис.3

Задача 3.4.

Решить текстовую задачу (номер примера соответствует варианту):

1. Из прямоугольного листа картона размером м² требуется изготовить коробку без крышки. Какова должна быть сторона квадратов, вырезанных из четырех углов листа, чтобы объем полученной коробки был максимальным? Чему равен объем такой коробки?

2. Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 200 кг раннего картофеля и реализовать его по 12 руб. за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведет к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 руб. Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки 5 недель?

3. Окно в загородном доме имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен 8. При каком радиусе полукруга площадь окна будет наибольшей?

4. Число 204 разложить на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:7, а произведение трех слагаемых было наибольшим.

5. Требуется огородить прямоугольную площадь вдоль уже выстроенной стены. Стоимость ограждения стороны, параллельной стене, равна 60 руб. за один метр; стоимость ограждения двух других сторон составляет 90 руб. за метр. Какая максимальная площадь может быть огорожена, если имеется всего 10800 руб.?

6. Из квадратного листа картона со стороной 36 м требуется изготовить коробку без крышки. Какова должна быть сторона квадратов, вырезанных из четырех углов листа, чтобы объем полученной коробки был максимальным? Чему равен объем такой коробки?

7. Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 400 кг раннего картофеля и реализовать его по 24 руб. за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведет к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 руб. Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки 5 недель?

8. Окно в загородном доме имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен 12. При каком радиусе полукруга площадь окна будет наибольшей?

9. Число 120 разложить на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:4, а произведение трех слагаемых было наибольшим.

10. Требуется обустроить прямоугольную площадку так, чтобы с трех сторон она была огорожена сеткой, а четвертой стороной примыкала к длинной каменной стене. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы ее площадь была наибольшей, если имеется 200 метров сетки.

11. Из прямоугольного листа картона размером м² требуется изготовить коробку без крышки. Какова должна быть сторона квадратов, вырезанных из четырех углов листа, чтобы объем полученной коробки был максимальным? Чему равен объем такой коробки?

12. Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 600 кг раннего картофеля и реализовать его по 36 руб. за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведет к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 руб. Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки 6 недель?

13. Окно в загородном доме имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен 24. При каком радиусе полукруга площадь окна будет наибольшей?

14. Число 240 разложить на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:4, а произведение трех слагаемых было наибольшим.

15. Требуется обустроить прямоугольную площадку так, чтобы с трех сторон она была огорожена сеткой, а четвертой стороной примыкала к длинной каменной стене. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы ее площадь была наибольшей, если имеется 360 метров сетки.

16. Из квадратного листа картона со стороной 72 м требуется изготовить коробку без крышки. Какова должна быть сторона квадратов, вырезанных из четырех углов листа, чтобы объем полученной коробки был максимальным? Чему равен объем такой коробки?

17. Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 100 кг раннего картофеля и реализовать его по 12 руб. за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведет к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 руб. Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки 5 недель?

18. Окно в загородном доме имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен 36. При каком радиусе полукруга площадь окна будет наибольшей?

19. Число 360 разложить на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:4, а произведение трех слагаемых было наибольшим.

20. Требуется обустроить прямоугольную площадку так, чтобы с трех сторон она была огорожена сеткой, а четвертой стороной примыкала к длинной каменной стене. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы ее площадь была наибольшей, если имеется 240 метров сетки.

Пример 3.4.

Решить текстовую задачу: Окно в загородном доме имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен 16. При каком радиусе полукруга площадь окна будет наибольшей?

Решение: Чтоб решить данную задачу, студенту необходимо знать алгоритм решения текстовых задач с применением производной первого порядка. Алгоритм заключается в следующем: чтобы определить при каком радиусе полукруга площадь окна будет наибольшей, требуется задать функцию, зависимую от радиуса ; найти ее производную; затем найти точки, в которых производная обращается в ноль, и отметить их на числовой прямой. Ответом задачи будет .

Рис.4

Обозначим высоту окна переменной , радиус полукруга переменной , а ширина окна будет равна (рис.4).

Периметр окна определяется по формуле

.

Площадь окна определяется по формуле

.

Требуется задать функцию, зависимую от радиуса . Следовательно, переменную выразим из формулы периметра, причем по условию задачи периметр равен 16. Итак,

.

Выразив , подставим выражение в формулу площади окна, получим функцию вида

.

Найдем производную первого порядка полученной функции

.

Найдем точки, в которых первая производная обращается в ноль, и отметим их на числовой прямой (рис.5)

Рис.5

Проверим знак первой производной функции в каждом из полученных промежутков

> ,

< .

Значение производной функции на первом промежутке положительно, а на втором промежутке отрицательно. Следовательно, точка является точкой максимума. Значит, при радиусе полукруга площадь окна будет наибольшей.

Ответ: .

Поиск по сайту: