Раздел IV. Функции нескольких переменных

В раздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Функции нескольких переменных»: нахождение частных производных первого и второго порядка, градиента, вычисление смешанных производных, исследование функции нескольких переменных (ФНП) на экстремум. При решении задач этого раздела необходимо знать правила вычисления частных производных первого, второго порядков и метод наименьших квадратов; рекомендуется повторить теоретический материал, рассмотренный на лекциях по данной теме.

Задача 4.1.

а) Найти экстремум ФНП; б) найти градиент ФНП в заданной точке (номер примера соответствует варианту):

1) а) ;

б) в заданной точке .

2) а) ;

б) в заданной точке .

3) а) ;

б) в заданной точке .

4) а) ;

б) в заданной точке .

5) а) ;

б) в заданной точке .

6) а) ;

б) в заданной точке .

7) а) ;

б) в заданной точке .

8) а) ;

б) в заданной точке .

9) а) ;

б) в заданной точке .

10) а) ;

б) в заданной точке .

11) а) ;

б) в заданной точке .

12) а) ;

б) в заданной точке .

13) а) ;

б) в заданной точке .

14) а) ;

б) в заданной .

15) а) ;

б) в заданной точке .

16) а) ;

б) в заданной точке .

17) а) ;

б) в заданной точке .

18) а) ;

19) б) в заданной точке .

20) а) ;

б) в заданной точке .

21) а) ;

б) в заданной точке .

Пример 4.1.

а) Найти экстремум ФНП ;

б) найти градиент ФНП в заданной точке .

Решение:

а) Исследование функции на экстремум проведем по следующей схеме:

1. Находим частные производные первого порядка заданной функции (см. формулы в примере 1.1.)

, .

При дифференцировании функции по переменной считаем постоянной величину

.

При дифференцировании функции по переменной считаем постоянной величину

.

2. Находим критические точки функции из системы

Решая систему

получаем

т. е. функция имеет одну критическую точку с координатами (4;–1).

3. Находим частные производные второго порядка заданной функции

, , .

Введем обозначения , , . Составим выражение .

4. Находим значение в найденной критической точке. Если значение в исследуемой точке отрицательно, то в данной точке нет экстремума, если значение в исследуемой точке положительно, то точка является точкой экстремума, а именно при < – точка максимума, при >0 – точка минимума. Таким образом,

>0,

т. е. в точке (4;–1) функция имеет экстремум. Следовательно, точка с координатами (4;–1) является точкой максимума, так как < ,

.

Ответ: .

б) Для нахождения градиента функции в заданной точке используем формулу

, где – единичные вектора.

1. Находим частные производные первого порядка заданной функции (см. формулы в примере 1.1.)

2. Вычисляем частные производные функции в заданной точке

3. Подставляем найденные значения в формулу, находим градиент

Ответ: .

Задача 4.2.

Пусть в результате, какого – либо процесса (экономического) получены пять значений искомой функции при пяти значениях аргумента . Необходимо установить функциональную зависимость между переменными величинами и , в предположении, что она является линейной. Например, между кредитными вложениями банков и их прибылью. Задачу решить методом наименьших квадратов. Сделать чертеж, указав погрешности . Данные занесены в таблицу:

Вариант 1		Вариант 2
	-2,1	-1,1	-1,2	0,2	2,1		-1,1		1,2		1,6

Вариант 3		Вариант 4
	-2,1	0,7		1,6	2,2		-1,6	-0,2	0,1	1,2	1,6

Вариант 5		Вариант 6
	-0,2	0,1	0,6		2,2		4,4	7,9	8,9	14,7	16,7

Вариант 7		Вариант 8
	1,3	3,3	5,8	10,3	16,7		2,7	7,9	11,9	14,7	15,2

Вариант 9		Вариант 10
	1,3	5,2	7,9	10,3	15,2		5,2	5,8	13,3	14,7	16,7

Вариант 11		Вариант 12
	1,3	-6,8	-8,3	-17	-19,2		-2,7	-6,8	-8,3	-17	-20,1

Вариант 13		Вариант 14
	1,3	-0,7	-4,3	-11,8	-20,1		-0,7	-9,4	-15,2	-17	-20,1

Вариант 15		Вариант 16
	1,3	-2,7	-8,3	-17	-19,2		4,5	1,5	-0,6	-2,2	-7,3

Вариант 17		Вариант 18
	7,6	3,9	1,5	-0,6	-4,9			1,9	1,5	-4,9	-8

Вариант 19		Вариант 20
	8,5	6,6	3,9	-2,2	-8		6,6	0,2	-2,2	-3,3	-8

Пример 4.2.

Пусть в результате, какого – либо процесса (экономического) получены пять значений искомой функции при пяти значениях аргумента . Необходимо установить функциональную зависимость между переменными величинами и , в предположении, что она является линейной. Например, между кредитными вложениями банков и их прибылью. Задачу решить методом наименьших квадратов. Сделать чертеж, указав погрешности . Данные занесены в таблицу:

	1,1	3,3	3,8		7,5

Решение: Чтоб решить данную задачу, студенту необходимо вспомнить метод Крамера, построение прямой в декартовой системе координат и знать алгоритм решения задачи. Алгоритм заключается в следующем. Требуется заполнить таблицу; составить нормальную систему метода наименьших квадратов вида

, по условию задачи

и решить ее. Промежуточные вычисления производить с двумя знаками после запятой, в результате значения и округлить до одного знака, записать уравнение искомой прямой ; изобразить в одной системе координат прямую и все точки с координатами . Единица масштаба должна соответствовать двум клеткам; показать на чертеже погрешности , вычислив по формуле , .

Итак, значения заносятся в таблицу в порядке возрастания. Будем искать зависимость между и в виде линейной функции . Для составления нормальной системы метода наименьших квадратов заполним следующую таблицу

(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
		1,1	1,1
		3,3	16,5
		3,8	30,4
		7,5
Сумма		20,7

Нормальная система имеет вид

Эту систему решим по формулам Крамера:

.

Ее решение . Найдя числа и , и затем, подставляя их в уравнение , получаем уравнение искомой прямой .

Строим прямую по двум точкам, например, и (см. рис.6). Изобразим все точки , а именно данные точки с координатами , , , и . Вычисляем по формуле :

:

:

:

:

:

и покажем найденные погрешности на чертеже (см. рис.6) в виде вертикальных отрезков (изображенных от точек до прямой).

Рис.6

Поиск по сайту: