Оценка постоянного аннуитета постнумерандо

Денежные потоки.

Виды денежных потоков.

Один из основных элементов финансового анализа – оценка денежного потока , генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Для простоты изложения будем предполагать, что элементы денежного потока однонаправлены, т.е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств. Также считается, что генерируемые в рамках одного временнóго периода поступления не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ: либо в его начале, либо в его конце. В первом случае поток называется потоком пренумерандо, во втором – потоком постнумерандо.

С₁ С₂ С₃ …….. С_n-1 С_n С₁ С₂....С_n-2 С_n-1 С_n

t₀ t₁ t_{2 ….} t_n-2 t_n-1 t_n t₀ t₁ t₂…..t_n-2 t_n-1 t_n

Поток пренумерандо Поток постнумерандо

Временные периоды часто предполагаются равными. На практике большое распространение получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов (согласно общим принципам учёта принято подводить итоги и оценивать финансовый результат по окончании очередного отчётного периода). Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения); б) обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования). В результате решения каждой из этих задач денежный поток заменяется одним единственным платежом. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, непосредственное их суммирование невозможно. Поэтому осуществляется приведение денежного потока к одному моменту времени.

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в основе лежит будущая стоимость. Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного денежного потока, т.е. в её основе лежит приведённая стоимость.

Оценка аннуитета.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, длительности всех периодов которого равны между собой. Исторически вначале рассматривались ежегодные денежные поступления, что и послужило основой для названия, т.к. год по латыни – annо. В дальнейшем в качестве периода стал выступать любой промежуток времени при сохранении прежнего названия. Аннуитет ещё называют финансовой рентой или просто рентой. Любое денежное поступление называется членом аннуитета (членом ренты), а величина постоянного временнóго интервала между двумя последовательными денежными поступлениями – периодом аннуитета (периодом ренты). Если число равных временных периодов ограничено, аннуитет называется срочным. Интервал времени от начала первого периода аннуитета до конца последнего называется сроком ренты. Он равен произведению периода ренты на количество денежных поступлений.

Как и в общем случае, выделяют два типа аннуитетов: постнумерандо и пренумерандо. Началом аннуитета является начало его первого периода. Начало аннуитета пренумерандо совпадает с моментом первого денежного поступления. Начало аннуитета постнумерандо предшествует моменту первого денежного поступления на интервал времени, равный периоду аннуитета.

Ситуация, когда денежные поступления по периодам варьируются, является наиболее распространённой. В этом случае аннуитет называется переменным. Общая постановка задачи такова. Пусть - аннуитет, период которого совпадает с базовым периодом начисления процентов по ставке i. Требуется найти стоимость данного аннуитета с позиции будущего и с позиции настоящего.

Оценку с позиции будущего можно представить следующим образом:

С₁ С₂ С₃ …….. С_n-1 С_n

t₀ t₁ t₂ t₃ ….…. t_n-1 t_n

С_n

С_n-1(1+ i)

С₂(1+ i) ^{n -2}

С₁(1+ i) ^{n -1}

Логика решения прямой задачи для аннуитета постнумерандо

На первое денежное поступление С₁ начисляются сложные проценты за (n – 1) период и в конце n – ого периода оно равно С₁(1+ i) ^{n -1}. На второе денежное поступление С₂ начисляются сложные проценты за (n – 2) периода и в конце n – ого периода оно равно С₂(1+ i) ^{n -2} и т.д.. На предпоследнее денежное поступление С_n-1 проценты начисляются за один период и в конце n – ого периода оно равно С₁(1+ i). На С_n проценты не начисляются.

Будущая стоимость аннуитета постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных денежных поступлений:

. (3.1)

Оценку с позиции настоящего можно представить следующим образом:

С₁ С₂ С₃ …….. С_n-1 С_n

t₀ t₁ t₂ t₃ ….…. t_n-1 t_n

С₁/(1+ i)

С₂/ (1+ i) ²

С_n-1/(1+ i) ^{n -1}

С_n/(1+ i) ⁿ

Логика решения обратной задачи для аннуитета постнумерандо

В этом случае реализуется схема дисконтирования, все элементы потока приведены к настоящему моменту времени. Приведённая стоимость аннуитета постнумерандо оценивается как сумма дисконтированных денежных поступлений:

. (3.2)

Задача. Рассчитать приведённую стоимость аннуитета постнумерандо (тыс. руб.): 12,15,9,25, если задана процентная ставка i = 12% и период равен 1 году.

Логика оценки аннуитета пренумерандо аналогична вышеописанной.

Оценку с позиции будущего можно представить следующим образом:

С₁ С₂ С₃ С₄ …….. С_n

t₀ t₁ t₂ t₃ ….…. t_n-1 t_n

С_n(1+ i)

С₃(1+ i) ^{n -2}

С₂(1+ i) ^{n -1}

С₁(1+ i) ⁿ

Логика решения прямой задачи для аннуитета пренумерандо

Будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть оценена как сумма наращенных денежных поступлений:

. (3.3)

Очевидно, что . (3.4)

Оценку с позиции настоящего можно представить следующим образом:

С₁ С₂ С₃ …….. С _{n -1} С _n

t₀ t₁ t₂ t₃ ….…. t _{n -1} t _n

С₁

С₂/ (1+ i)

С _{n -1}/(1+ i) ^{n -2}

С _n /(1+ i) ^n-1

Логика решения обратной задачи для аннуитета пренумерандо

Приведённая стоимость аннуитета пренумерандо оценивается как сумма дисконтированных денежных поступлений:

. (3.5)

Как и в случае с будущей стоимостью, очевидно, что

. (3.6)

Оценка постоянного аннуитета постнумерандо.

Аннуитет называется постоянным, если все денежные поступления равны между собой. В этом случае:

.

Для оценки будущей и приведённой стоимости постоянного аннуитета можно пользоваться формулами (3.1), (3.2), (3.3), (3.5), которые в этом случае упрощаются. Формула (3.1) трансформируется следующим образом:

; (4.1)

Множитель называется коэффициентом наращения аннуитета (ренты) и представляет собой сумму n первых членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 1 и знаменателем q = 1 + i:

. (4.2)

Экономический смысл множителя заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в 1 денежную единицу к концу срока его действия. Из (4.1) следует, что показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления С.

Задача. Вам предлагают сдать в аренду участок на 3 года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 000 руб. в конце каждого года; б) 35 000 руб. в конце трёхлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Первый вариант оплаты представляет собой аннуитет постнумерандо с n = 3 и С = 10 000. В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендной платы и инвестирования полученных сумм на условиях 20% годовых. К концу трёхлетнего периода накопленная сумма составит

(руб.).

Таким образом, вариант а) выгоднее.

Рассмотрим общую постановку обратной задачи постоянного срочного аннуитета постнумерандо. В этом случае производится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента. Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо выводится из основной формулы (3.2):

. (4.7)

Множитель называется коэффициентом дисконтирования ренты (аннуитета) и как сумма членов геометрической прогрессии равен:

= . (4.8)

Экономический смысл дисконтного множителя заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента стоимость аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы, продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой i.

Задача. В условиях задачи о сдаче в аренду участка на три года с вариантами оплаты а) 10 000 руб. в конце каждого года или б) 35 000 руб. в конце трёхлетнего периода (i = 20% годовых) оценить оба варианта с позиции текущего момента.

а) (руб.);

б) (руб.).

Первый вариант предпочтительнее; результат тот же, что и при оценке с позиции будущего.

Дисконтный множитель полезно интерпретировать и как величину капитала, поместив который в банк под сложную процентную ставку i, можно обеспечить регулярные выплаты в размере одной денежной единицы в течение n периодов (выплаты производятся в конце каждого периода). Например, т.к. , то, поместив 4 руб. 16 коп. под сложную процентную ставку 16%, можно обеспечить выплаты по 1 руб. в течение 7 лет.

Поиск по сайту: