Линейная алгебра

Вопросы к коллоквиуму (и к экзамену по данным разделам)

По курсу высшей математики

Для студентов химического факультета дневного отделения

Семестр

Линейная алгебра.

1. Определение n-мерного арифметического вектора. Принцип равенства n-мерных векторов Линейные операции над n-мерными векторами: сложение векторов, умножение вектора на число. Свойства операций над векторами. Определение нуль вектора.

2. Скалярное произведение n-мерных векторов. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Лемма о линейной зависимости системы векторов.

3. Матрицы. Виды матриц. Нуль-матрица. Принцип равенства двух матриц.

4. Операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, произведение двух матриц. Свойства операций над матрицами.

5. Определение определителя 2-го и 3-го порядков. Миноры и алгебраические дополнения. Определение определителя n-го порядка.

6. 1-5 свойство определителей.

7. 5- 10 свойство определителей.

8. Системы n-линейных уравнений с n-неизвестными. Теорема Крамера.

9. Обратная матрица. Постановка задачи. Определение. Теорема о существовании обратной матрицы.

10. Алгоритм построения обратной матрицы. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы (3 случая).

11. Определение минора к – порядка матрицы. Их общее количество у матрицы. Минорный ранг матрицы. Определение базисного минора.

12. Элементарные преобразования матрицы. Теорема: об элементарных преобразованиях матрицы.

13. Определение эквивалентных матриц. Алгоритм вычисления ранга матрицы. Теорема о базисном миноре.

14. Произвольные системы линейных уравнений. Определение решения системы, совместной, несовместной, определенной и неопределенной системы.

15. Матрица коэффициентов системы и расширенная матрица. Критерий совместности системы.

16. Число решений совместной системы. (2 случая). Определения базисных и свободных неизвестных. Общее и частные решения системы.

17. Определение однородной системы. Замечание о совместности и виде решений однородной системы. Теоремы 1 и2 о ненулевом решении однородной системы.

18. Понятие комплексного числа. Действительная и мнимая часть. Алгебраическая форма комплексного числа. Сопряженное комплексное число. Равенство комплексных чисел. Операции над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление).

19. Геометрическое изображение комплексного числа. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

20. Операции умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме. Теорема Муавра. Корень из комплексного числа.

21. Определение многочлена. Замечание. Теорема о делении многочлена на многочлен. Корни многочлена. Замечание.

22. Теорема о разложении многочлена. Теорема о количестве корней многочлена. Замечание о комплексных корнях многочлена. Замечание о разложении многочлена на многочлены первого и второго порядка с вещественными коэффициентами.

Аналитическая геометрия.

1. Декартовы координаты вектора в пространстве. Основные определения и обозначения. Полярная система координат.

2. Проекция отрезка на ось. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

3. Векторная алгебра. Геометрические векторы. Основные понятия. (нулевые, коллинеарные, равные, противоположные, компланарные) Арифметические операции над векторами. Свойства арифметических операций. Критерий коллинеарности векторов.

4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

5. Векторное произведение двух векторов и его свойства.

6. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

7. Прямая линия. Общее уравнение прямой на плоскости. Частные случаи прямой.

8. Уравнение прямой: а) проходящей через заданную точку в данном направлении, б) проходящей через две точки, в) в «отрезках» на осях, г) каноническое уравнение прямой, д) параметрическое уравнение прямой.

9. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пучок прямых.

10. Нормальное уравнение прямой. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Отклонение точки от прямой. Расстояние от точки до прямой.

11. Кривые второго порядка. Окружность. Каноническое уравнение эллипса. Свойства. Понятие фокуса, малой и большей полуоси, эксцентриситета, фокальных радиусов, директрисы. Теореме об эксцентриситете.

12. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства. Понятие фокуса, действительной и мнимой полуоси, основного прямоугольника, асимптоты, эксцентриситета, фокальных радиусов, директрисы. Теореме об эксцентриситете.

13. Каноническое уравнение параболы. Свойства. Понятие фокуса, директрисы.

14. Общее уравнение плоскости в пространстве. Нормаль. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Частные случаи плоскостей.

15. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Разные случаи.

16. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду.

17. Прямая линия в пространстве. Задание прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Пучок плоскостей. Канонические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две точки. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

18. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия пересечения прямых. Точка пересечения двух прямых.

19. Взаимное расположение прямой и плоскости. Условия параллельности прямой и плоскости. Условия расположения прямой в плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

20. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

21. Поверхности 2-го порядка. Эллиптический, гиперболический, параболический цилиндры. Поверхность вращения.

22. Виды поверхностей вращения 2 порядка. Сфера. Эллипсоид. Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Конус.

Поиск по сайту: