|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Линейная модель парной регрессии и корреляцииРассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида
Уравнение вида Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров –
Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2): Рис. 1.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков. Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции (1.2), надо вычислить частные производные по каждому из параметров
После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров
Решая систему уравнений (1.4), найдем искомые оценки параметров
где
Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности[1]. Параметр Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях. Формально Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции
где Соответственно величина После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров. Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:
Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%. Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной
где Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.1 ( Таблица 1.1
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину
Фактическое значение Для парной линейной регрессии
Величина
В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:
где Величина стандартной ошибки совместно с Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение Рис. 1.3. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра Стандартная ошибка параметра
Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции
Фактическое значение Существует связь между
В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое
где
Рассмотрим пример. По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи. Таблица 1.2
Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения построим поле корреляции. Рис. 1.4. По графику видно, что точки выстраиваются в некоторую прямую линию. Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу. Таблица 1.3
Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии
Получили уравнение: Как было указано выше, уравнение линейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи – линейным коэффициентом корреляции
Близость коэффициента корреляции к 1 указывает на тесную линейную связь между признаками. Коэффициент детерминации Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью
Табличное значение ( Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем
Фактические значения Средняя ошибка аппроксимации (находим с помощью столбца 10 таблицы 1.3; И, наконец, найдем прогнозное значение результативного фактора
Значит, если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб., то расходы на питание будут 2,490 тыс. руб. Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза
а доверительный интервал (
Т.е. прогноз является статистически надежным. Теперь на одном графике изобразим исходные данные и линию регрессии: Рис. 1.5. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.018 сек.) |