Узагальнення задачі

Математичні моделі розміщення підприємств

Одним з найважливіших питань, що відносить як до міжгалузевого, такі до територіального планування, є питання розміщення підприємств. Де побудувати підприємство? Якщо близько до сировини, то далеко від споживача. Якщо близько до споживача, то далеко від сировини. Також треба врахувати забезпечення трудовими ресурсами і багато інших факторів.

Лінійна статична модель розміщення виробництва одного продукту. Нехай у деяких пунктах розміщені підприємства, що виробляють деякий продукт. У пунктах знаходяться пункти споживання цього продукту. Відомі величини:

– максимально можливий об’єм виробництва у пункті , ,

– потреби споживачів у пункті , ,

– витрати на виробництво одиниці продукції у пункті , ,

– витрати на транспортування одиниці продукції з пункту у пункт споживання , , ,

Необхідно визначати такий план виробництва продукції у кожному з пунктів виробництва та такий план перевезення продукції від виробників до постачальників, при якому сумарні витрати будуть найменшими.

Позначимо

– об’єм виробництва продукції у пункті , ,

– об’єм продукції, що буде перевозитися з пункту у пункт споживання , , ,

Математична модель задачі

Обмеження	Інтерпретація
, , ,	об’єми перевезень не можуть бути від’ємними
, ,	об’єм вивезеної продукції від виробника має дорівнювати об’єму виробленої ним продукції
, ,	об’єм вивезеної продукції від виробника не повинен перевищувати максимально можливих об’ємів виробництва
, ,	потреби споживачів потрібно задовольнити

Цільова функція (виражає зальні витрати на виробництво і перевезення)

.

Тут

– загальні витрати на виробництво продукції,

– загальні витрати на перевезення продукції.

Дана модель є звичайною транспортною задачею.

Узагальнення задачі

Врахування масштабів виробництва. Очевидно модель є дуже спрощеною, так, наприклад, вартість виробництва одиниці продукції залежить від об’ємів виробництва (чим більші об’єми – тим вартість виробництва одиниці продукції є меншою). В цьому випадку вартість виробництва одиниці продукції у пункті виражається у вигляді відповідної функції

,

і цільова функція

буде нелінійною.

Врахування обмеженості ресурсів. Ресурси можуть бути обмеженими. Обмеження можуть мати вигляд

,

де

– кількість видів ресурсів,

– норма споживання -го ресурсу на виробництва одиниці продукції у пункті виробництва ,

– наявна кількість ресурсів го виду.

Обмеженість пропускних здатностей мереж. Обмеження можуть мати вигляд

,

де – максимальна пропускна здатність ділянки мережі, що з’єднує -тий та -тий пункти.

Варіантна математична модель розміщення підприємств. Необхідно визначити потужність підприємств з врахуванням дискретної зміни варіантів потужностей та план перевезень, що дозволить мінімізувати загальні витрати.

Введемо позначення

– кількість підприємств, що виготовляють продукцію,

– кількість споживачів,

– номер варіанту розвитку підприємства,

– кількість можливих варіантів розвитку -го підприємства,

– потужність -го підприємства згідно з -м варіантом,

– об’єми споживання продукту -им споживачем,

– затрати на одиницю продукції згідно з -тим варіантом,

– вартість перевезення одиниці продукції з -го підприємства до -го споживача,

– об’єм перевезень продукції з -го підприємства до -го споживача,

Математична модель задачі

Обмеження	Інтерпретація
, ,
,	на кожному з підприємств повинен бути вибраний тільки один з варіантів або ж підприємство треба закрити, якщо не вибрано жодного (сума дорівнює нулю)
,	потреби споживачів повинні бути задоволені
	у кожному з пунктів виробництва об’єм вивезеної продукції не повинен перевищувати об’єму виробленої продукції

Цільова функція

,

тут

– витрати на виробництво продукції,

– витрати на перевезення.

Математична модель розміщення пунктів виробництва у мережевій постановці. На транспортній мережі відмічено пункти виробництва і пункти споживання. Мережа представлена у вигляді графа, що складається з вершин і дуг. Відомі потреби у продукції у кожній вершині графа і потужність діючих підприємств. Потрібно визначити потужності підприємств і транзитні потоки, які при заданих обмеженнях дозволять задовольнити потреби споживачів з мінімальними сумарними затратами.

Введемо позначення

– кількість пунктів (вузлів) транспортної мережі,

– затрати на виробництво продукції у -товому пункті мережі,

– максимальна виробнича потужність -го пункту,

–об’єм споживання продукції у -тому пункті,

–затрати на перевезення одиниці продукції з -го пункту в -товий,

– множина усіх дуг графа,

– множина вершин виробництва продукції,

– множина вершин споживання продукції,

– множина проміжних транзитних пунктів, у яких продукція ні виробляється, ні споживається,

– об’єми перевезень з -го пункту в -товий

Математична модель задачі

Обмеження	Інтерпретація
,	Об’єми перевезень не можуть бути від’ємними
	Різниця між кількістю вивезеної продукції і кількістю ввезеної є кількістю виробленої продукції у цьому пункті і не може перевищувати його виробничих потужностей
	Різниця між кількістю ввезеної продукції і кількістю вивезеної дорівнює кількості продукції, що залишається у цьому пункті і повинна дорівнювати потребам споживача цього пункту
	Різниця між кількістю вивезеної продукції і кількістю ввезеної у транзитних пунктах повинна дорівнювати нулю

Цільова функція

тут

– витрати на виробництво продукції,

– витрати на перевезення.

Статична математична модель багатоетапного процесу розміщення пунктів виробництва. Розглядається випадок, коли виробництво здійснюється у декілька етапів – добування сировини, переробка на декількох підприємствах і потім споживання. Необхідно побудувати оптимальний план усіх етапів виробництва від добування сировини до кінцевого споживання.

Моделі розглядуваного процесу можуть бути варіантні або безваріанті.

Безваріанта модель багатоетапного процесу виробництва.

Введемо позначення

– номер етапу;

– кількість усіх етапів;

– кількість підприємств, що здійснюють обробку сировини на етапі ;

– номер споживача;

– номер підприємства на проміжковому етапі (включаючи перший етап);

– максимально можливий об’єм виробництва на -тому підприємстві етапу ();

– об’єм споживання продукції у -тому пункті на останньому етапі ();

– затрати на переробку одиниці продукції на -тому підприємстві етапу ;

– затрати на перевезення одиниці продукції з -того підприємства -го етапу в -те підприємство -го етапу;

– об’єм перевезення продукції з -го підприємства -го етапу, в -те підприємство -го етапу.

Кожне -те підприємство споживачем сировини або напівфабрикатів, що виготовляються на підприємствах попереднього етапу. Це означає, що величини представлені в однорідних одиницях виміру за допомогою перерахунку на одиничний уявний продукт.

Математична модель задачі складається з цільової функції

,

де

– загальні витрати на виробництво продукції,

– загальні витрати на перевезення.

та обмежень

Обмеження	Інтерпретація
, , ,	Об’єми перевезень не можуть бути від’ємними
, ,	об’єм вивезеної продукції з підприємств на кожному з етапів не повинен перевищувати їх максимальний об’єм виробництва
, ,	об’єм ввезеної продукції з підприємств попереднього етапу для переробки не повинен перевищувати їх максимального об’єму виробництва
, ,	на кожному підприємстві об’єм ввезеної продукції з попереднього етапу повинен дорівнювати об’єму вивезеної продукції з цього підприємства на підприємства наступного етапу
, .	потреби споживачів повинні бути задоволені

Динамічна модель розміщення виробництва. Розглядається випадок, коли розміщення пунктів виробництва розглядається протягом певного періоду часу, протягом якого об’єми виробництва підприємств можуть нарощуватися.

Введемо позначення

– рік планового періоду;

– кількість років планового періоду;

– номер підприємства;

– кількість підприємств;

– номер споживача;

– кількість споживачів;

– максимальна потужність -го підприємства у -му році;

– потреба -го споживача у -му році;

– затрати на виробництво одиниці продукції у -му році;

– вартість перевезення одиниці продукції з -го підприємства до -го споживача у -му році;

– об’єм виробництва на -тому підприємстві у -му році;

– об’єм перевезення з -го підприємства до -го споживача у -му році.

Математична модель задачі складається з цільової функції

,

де

– загальні витрати на виробництво продукції,

– загальні витрати на перевезення продукції,

та обмежень

Обмеження	Інтерпретація
, , ,	Об’єми перевезень не можуть бути від’ємними
, ,	об’єм виробленої продукції, що дорівнює сумарному об’єму вивезеної продукції з цього підприємства, не повинен перевищувати максимального об’єму виробництва цього підприємства
, , .	потреби споживачів повинні бути задоволені у кожному році планового періоду
,	обмеження, що забезпечують неспадання обсягів виробництва підприємств

Приклади задач розміщення виробництва.

Задача 1. Відомі максимально можливі об’єми випуску однотипної продукції на трьох заводах: 460, 340 та 300 тон відповідно. Потреби продукції чотирьох споживачів на цю продукцію складають: 350, 200 450 та 100 тон. Відомі також витрати на виробництво одиниці продукції на кожному заводі: 9,8 та 2 гривні, відповідно, перевезення однієї одиниці продукції від заводів до споживачів

Знайти оптимальний план прикріплення споживачів до заводів, при якому сумарні затрати на виробництво і транспортування будуть мінімальними.

Розв’язання

Позначимо

– об’єм продукції, що буде перевозитися від -го заводу до -го споживача .

Транспортна задача є збалансованою (460+340+300=350+200+450+100).

Математична модель задачі складається з цільової функції

де

– загальні витрати на виробництво продукції,

– загальні витрати на перевезення

та обмежень на випуск продукції

,

,

,

обмежень на споживання продукції

,

,

,

,

невід’ємності об’ємів перевезень

.

Поиск по сайту: