Уравнение Навье-Стокса

Для анализа течения вязкой жидкости в правую часть уравнения движения (3.28) необходимо добавить силу вязкого трения, приложенную к единице объема жидкости. Для того, чтобы избежать лишних выкладок, мы ограничимся рассмотрением двумерного слоистого течения жидкости в направлении оси x, при этом единственная компонента скорости v_x зависит от поперечной координаты y (рис. 4.3). На верхнюю грань dxdz кубика dxdydz (ось z перпендикулярна плоскости чертежа) в соответствии с (4.1) в направлении оси x действует увлекающая сила , а на нижнюю грань - тормозящая сила . Поэтому равнодействующая сил вязкого трения, приложенная к выделенному кубику, равна

(4.2)

а сила, приложенная к единице объема, составит

(4.3)

При линейном законе изменения скорости по высоте, как на рис. 4.2, . Если скорость изменяется нелинейно, как на рис.4.3, то . При трехмерном течении жидкости сила вязкого трения, вообще говоря, имеет три компоненты , где

(4.4)

В (4.4) - оператор Лапласа, широко применяемый в физике для сокращения записи. Если теперь компоненты силы трения (4.4) подставить в правые части уравнений (3.29) для соответствующих компонент скоростей, то мы получим систему уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Эти три уравнения могут быть записаны в виде одного векторного уравнения

(4.5)

Оно отличается от (3.31) наличием в правой части члена. Уравнение (4.5) называется уравнением Навье-Стокса и является основным при расчете движения вязкой несжимаемой жидкости. Однако в общем случае оно не решается методами современной математики, и на практике приходится ограничиваться решением лишь частных задач. Одной из таких задач является течение невязкой несжимаемой жидкости, подчиняющееся уравнению Бернулли. Ранее мы получили условие, при котором сжимаемостью жидкости или газа можно пренебречь. Теперь мы выясним, в каких случаях можно пренебречь действием сил вязкости.

9.

10. Линии тока

1) векторного поля р, линии, в каждой точке которых касательная имеет направление вектора поля в этой точке (см. Векторное поле). Дифференциальные уравнения Л. т. имеют вид:

dx/p₁ = dy/p₂ = dz/p₃,

где p₁, p₂, p₃ — координаты вектора поля, а х, у, z — координаты точки Л. т.

2) В гидроаэромеханике, линия, в каждой точке которой касательная к ней совпадает по направлению со скоростью частицы жидкости в данный момент времени. Совокупность Л. т. позволяет наглядно представить в каждый данный момент времени поток жидкости, давая как бы моментальный фотографический снимок течения. Они могут быть сделаны видимыми с помощью взвешенных частиц, внесённых в поток (например, алюминиевый порошок в воде, дым в воздухе). При фотографировании такого потока с короткой выдержкой получается изображение Л. т. (см. рис.).

Трубка тока

в гидромеханике, трубка, составленная из линий тока (См. Линии тока), проходящих через точки небольшого замкнутого контура внутри движущейся жидкости. Касательные к линиям тока совпадают с направлением скоростей движения частиц жидкости, находящихся на этих линиях. При неустановившемся движении жидкости линии тока меняются от момента к моменту, и поэтому Т. т. тоже меняет свою форму. При установившемся движении жидкости линии тока совпадают с траекториями частиц и остаются неизменными; в этом случае Т. т. сходна с трубкой с твёрдыми стенками, внутри которой происходит течение жидкости с постоянным расходом через сечение трубки. Если плотность постоянная, то Т. т. будут сужаться или расширяться в зависимости от того, будет ли скорость увеличиваться или уменьшаться. Такое поведение Т. т. имеет место и при переменной плотности (то есть для газа), но только до тех пор, пока скорость установившегося течения газа не превысит местную скорость звука; после этого дальнейшее возрастание скорости течения газа сопровождается не сужением Т. т., а её расширением.

Поиск по сайту: