Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели

Выше отмечалось, что любая математическая модель может рассматриваться как некоторый оператор А, который является алгоритмом или определяется совокупностью уравнений — алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), систем ОДУ (СОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), интегродифференциальных уравнений (ИДУ) и др. (рис. 1.6).

Если оператор обеспечивает линейную зависимость выходных параметров от значений входных параметров X, то математическая модель называется линейной ( рис. 1.7). Линейные модели более просты для анализа. Например, из свойства линейности следует свойство суперпозиции решений, т.е. если известны решения при и при , то решение для выходных параметров при есть . Предельные значения для линейных моделей достигаются, как правило, на границах областей допустимых значений входных параметров.

Линейное поведение свойственно относительно простым объектам. Системам, как правило, присуще нелинейное многовариантное поведение (рис. 1.8). Соответственно модели подразделяются на нелинейные.

В зависимости от вида оператора математические модели можно разделить на простые и сложные.

В случае, когда оператор модели является алгебраическим выражением, отражающим функциональную зависимость выходных параметров fot входных X, модель будем называть простой.

В качестве примеров простых моделей можно привести многие законы физики (закон всемирного тяготения, закон Ома, закон Гука, закон трения Амонтона—Кулона), а также все эмпирические, т.е. полученные из опыта, алгебраические зависимости между входными и выходными параметрами.

Модель, включающая системы дифференциальных и интегральных соотношений, уже не может быть отнесена к простым, так как для своего исследования требует применения довольно сложных математических методов. Однако в двух случаях она может быть сведена к простым:

если полученная для подобной модели система математических соотношений может быть разрешена аналитически;

если результаты вычислительных экспериментов со сложной моделью аппроксимированы некоторой алгебраической зависимостью. В настоящее время известно достаточно большое число подходов и методов аппроксимации (например, метод наименьших квадратов или метод планирования экспериментов).

На практике довольно часто возникают ситуации, когда удовлетворительное описание свойств и поведения объекта моделирования (как правило, сложной системы) не удается выполнить с помощью математических соотношений. Однако в большинстве случаев удается построить некоторый имитатор поведения и свойств такого объекта с помощью алгоритма, который можно считать оператором модели.

Например, если в результате наблюдения за объектом получена таблица соответствия между входными Х и выходными значениями параметров, то определить оператор А, позволяющий получить «выход» по заданному «входу», зачастую бывает проще с помощью алгоритма.

Классификация математических моделей в зависимости от параметров модели (рис. 1.9)

В общем случае параметры, описывающие состояние и поведение объекта моделирования, разбиваются на ряд непересекающихся подмножеств

совокупность входных (управляемых) воздействий на объект ();

совокупность воздействий внешней среды (неуправляемых) ();

совокупность внутренних (собственных) параметров объекта ();

совокупность выходных характеристик ().

Например, при моделировании движения материальной точки в поле сил тяжести входными параметрами могут быть начальное положение и начальная скорость точки в момент времени . Сила сопротивления и сила тяжести характеризуют воздействие внешней среды. Масса точки является собственным параметром. Координата и скорость точки (при ) относятся к выходным параметрам. Отнесение параметров к входным или выходным зависит от постановки конкретной задачи. Поэтому всегда существуют прямые и обратные задачи.

Входные параметры , параметры, описывающие воздействие внешней среды , и внутренние (собственные) характеристики объекта относят обычно к независимым (экзогенным) величинам. Выходные параметры — зависимые (эндогенные) величины. В общем случае оператор модели преобразует экзогенные параметры в эндогенные .

По своей природе характеристики объекта могут быть как качественными, так и количественными. Для количественной характеристики вводятся числа, выражающие отношения между данным параметром и эталоном (например «метром»). Кроме того, количественные значения параметра могут выражаться дискретными или непрерывными величинами. Качественные характеристики находятся, например методом экспертных оценок. В зависимости от вида используемых множеств параметров модели могут подразделяться на качественные и количественные, дискретные и непрерывные, a также смешанные.

При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенности параметров:

детерминированное — значения всех параметров модели определяются детерминированными величинами (т.е. каждому параметру соответствует конкретное целое, вещественное или комплексное число либо соответствующая функция). Данный способ соответствует полной определенности параметров;

стохастическое — значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятности. Например, случаи нормального (гауссова) и показательного распределения случайных величин;

случайное — значения всех или отдельных параметров модели устанавливаются случайными величинами, заданными оценками плотностей вероятности, полученными в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных параметров;

интервальное — значения всех или отдельных параметров модели описываются интервальными величинами, заданными интервалом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра;

нечеткое — значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему нечеткому множеству. Такая форма используется, когда информация о параметрах модели задается экспертом на естественном языке, а, следовательно, в «нечетких» терминах типа «много больше пяти», «около нуля».

Разделение моделей на одномерные, двухмерные и трехмерные применимо для таких моделей, в число параметров которых входят координаты пространства, и связано с особенностями реализации этих моделей, равно как и с резким увеличением их сложности при возрастании размерности.

Как и координаты, время относится к независимым переменным, от которых могут зависеть остальные параметры модели. Обычно чем меньше масштаб объекта, тем существеннее зависимость его параметров от времени.

Любой объект стремится перейти в некоторое равновесное состояние, как с окружающей его средой, так и между отдельными элементами самого объекта. Нарушение этого равновесия приводит к изменениям различных параметров объекта и его переходу в новое равновесное состояние.

При построении модели важным является сравнение времени существенных изменений внешних воздействий и характерных временных переходов объекта в новое равновесное состояние с окружающей средой, а также времени релаксации, определяющего установление равновесия между отдельными элементами внутри объекта. Если скорости изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации, то явной зависимостью от времени в модели можно пренебречь. В этом случае говорят о квазистатическом процессе.

Совокупность значений параметров модели в некоторый момент времени или на данной стадии называется состоянием объекта.

Если скорости изменения внешних воздействий и параметров состояния изучаемого объекта достаточно велики (по сравнению со скоростями релаксации), то учет времени необходим. В этом случае объект исследования рассматривают в рамках динамического процесса.

В случае если внешние воздействия остаются постоянными или их колебания слабо отражаются на состоянии объекта в течении достаточно длительного промежутка времени то тогда в каждой фиксированной точке исследуемого пространства значения параметров модели не зависят от времени. Например, поле скоростей частиц жидкости в длинной трубе при ламинарном режиме. Подобные процессы называют стационарными. Как правило, стационарные модели применяются для описания различных потоков (жидкости, газа, тепла) в случае постоянства условий на входе и выходе потока. Для таких процессов время может быть исключено из числа независимых переменных.

Если в качестве одной из существенных независимых переменных модели необходимо использовать время (или его аналог), то модель называется нестационарной. Примером нестационарной модели является модель движения жидкости в трубе, но вытекающей из некоторого сосуда.

Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)

Целью дескриптивных моделей является установление законов изменения параметров модели. Полученная модель описывает зависимость выходных параметров от входных. Поэтому дескриптивные модели являются реализацией описательных и объяснительных содержательных моделей на формальном уровне моделирования.

Оптимизационные модели предназначены для определения оптимальных (наилучших) с точки зрения некоторого критерия параметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального (наилучшего) режима управления некоторым процессом. Часть параметров модели относят к параметрам управления, изменяя которые можно получать различные варианты наборов значений выходных параметров. Как правило, данные модели строятся с использованием одной или нескольких дескриптивных моделей и включают некоторый критерий, позволяющий сравнивать различные варианты наборов значений выходных параметров между собой с целью выбора наилучшего. На область значений входных параметров могут быть наложены ограничения в виде равенств и неравенств, связанные с особенностями рассматриваемого объекта или процесса. Целью оптимизационных моделей является поиск таких допустимых параметров управления, при которых критерий выбора достигает своего «наилучшего значения».

Управленческие модели применяются для принятия эффективных управленческих решений в различных областях целенаправленной деятельности человека. В общем случае принятие решений является процессом, по своей сложности сравнимым с процессом мышления в целом. Однако на практике под принятием решений обычно понимается выбор некоторых альтернатив из заданного их множества, а общий процесс принятия решений представляется как последовательность таких выборов альтернатив.

Сложность задачи заключается в наличии неопределенности как по исходной информации и характеру воздействия внешних условий, так и по целям. Поэтому в отличие от оптимизационных моделей, где критерий выбора считается определенным и искомое решение устанавливается из условий его экстремальности (максимума или минимума), в управленческих моделях необходимо введение специфических критериев оптимальности, которые позволяют сравнивать альтернативы при различных неопределенностях задачи.

Поскольку оптимальность принятого решения даже в одной и той же ситуации может пониматься по-разному, вид критерия оптимальности в управленческих моделях заранее не фиксируется. Именно в этом состоит основная особенность данных моделей.

Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)

Метод реализации модели относят к аналитическим, если он позволяет получить выходные параметры в виде аналитических выражений, т.е. выражений, в которых используется не более чем счетная совокупность арифметических операций и переходов к пределу. Примеры аналитических выражений:

,

Частным случаем аналитических выражений являются алгебраические выражения, в которых используется конечное или счетное число арифметических операций, операций возведения в целочисленную степень и извлечения корня. Пример алгебраических выражений: .

Очень часто аналитическое решение для модели представляют в элементарных или специальных функциях. Для получения значений этих функций при конкретных значениях входных параметров используют их разложение в ряды (например, Тейлора). Так, показательная функция может быть представлена следующим рядом:

Учитывая различное число членов ряда, можно вычислять значение функции с различной степенью точности. Таким образом, значение функции при каждом значении аргумента в этом случае определяется приближенно. Модели, использующие подобный прием, называются приближенными.

Аналитические методы реализации модели являются более ценными, однако их не всегда можно получить.

При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи выполняется построение вычислительного алгоритма. Найденное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи. Основным требованием к вычислительному алгоритму является необходимость получения решения исходной задачи с заданной точностью за конечное число шагов.

При имитационном подходе на отдельные элементы разбивается сам объект исследования. В этом случае система математических соотношений для объекта-системы в целом не записывается, а заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим ее поведение и учитывающим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы. Модели отдельных элементов могут быть как аналитическими, так и алгебраическими.

ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Отличительной особенностью математических моделей, создаваемых в настоящее время, является их комплексность, связанная со сложностью моделируемых объектов. Что приводит к усложнению модели и необходимости совместного использования нескольких теорий (нередко — из разных областей знания), применения современных вычислительных методов и вычислительной техники для получения и анализа результатов моделирования. Сегодня повсеместное использование моделей в практике инженерно-технической деятельности вызвало необходимость в алгоритме построения мат. моделей.

Процесс построения любой математической модели можно представить последовательностью этапов, представленных на рис. 2.1.

2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ

Математические модели, особенно использующие численные методы и вычислительную технику, требуют для своего построения значительных интеллектуальных, финансовых и временных затрат. Поэтому решение о разработке новой модели принимается лишь в случае отсутствия иных, более простых путей решения возникших проблем (например, модификации одной из существующих моделей). Если это решение все-таки принято, то порядок действий следующий.

Основной целью этапа обследования объекта моделирования является подготовка содержательной постановки задачи моделирования.

Перечень сформулированных в содержательной (словесной) форме основных интересующих вопросов об объекте моделирования составляет содержательную постановку задачи моделирования.

Этап обследования включает следующие работы:

тщательное обследование собственно объекта моделирования с целью выявления основных факторов, механизмов, влияющих на его поведение, определения соответствующих параметров, позволяющих описывать моделируемый объект;

сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах-аналогах, проведение при необходимости дополнительных экспериментов;

аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта (или подобных рассматриваемому объекту);

анализ и обобщение всего накопленного материала, разработка общего плана создания математической модели.

Весь собранный в результате обследования материал о накопленных к данному моменту знаниях об объекте, содержательная постановка задачи моделирования, дополнительные требования к реализации модели и представлению результатов оформляются в виде технического задания на проектирование и разработку модели.

Пример. Содержательная постановка задачи о баскетболисте.

Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную корзину.

Модель должна позволять:

вычислять положение мяча в любой момент времени;

определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.

Исходные данные:

масса и радиус мяча;

начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;

координаты центра и радиус корзины.

2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Концептуальная постановка задачи моделирования — это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных интересующих вопросов, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.

Концептуальная модель строится как некоторая идеализированная модель объекта, записанная в терминах конкретных дисциплин. Для этого формулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодействии с окружающей средой, изменении внутренних параметров. Как правило, эти гипотезы правдоподобны, так как для их обоснования могут быть приведены некоторые теоретические доводы и использованы экспериментальные данные, основанные на собранной ранее информации об объекте. Согласно принятым гипотезам определяется множество параметров, описывающих состояние объекта, а также перечень законов, управляющих изменением и взаимосвязью этих параметров между собой.

Пример. Концептуальная постановка задачи о баскетболисте.

Движение баскетбольного мяча может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона (рис. 2.2).

Примем следующие гипотезы:

объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса ;

мяч будем считать материальной точкой массой , положение которой совпадает с центром масс мяча;

движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорением свободного падения и описывается уравнениями классической механики Ньютона;

движение мяча происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли и проходящей через точку броска и центр корзины;

пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вызванными собственным вращением мяча вокруг центра масс.

В соответствии с изложенными гипотезами в качестве параметров движения мяча можно использовать координаты и скорость (ее проекции и ) центра масс мяча. Тогда для определения положения мяча в любой момент времени достаточно найти закон движения центра масс мяча, т.е. зависимость координат и проекций вектора скорости и центра мяча от времени. В качестве оценки точности броска можно рассматривать величину расстояния по горизонтали (вдоль оси )от центра корзины до центра мяча в момент, когда последний пересекает горизонтальную плоскость, проходящую через плоскость кольца корзины.

С учетом вышеизложенного можно сформулировать концептуальную постановку задачи о баскетболисте в следующем виде: определить закон движения материальной точки массой под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки , ее начальная скорость и угол бросания . Центр корзины имеет координаты . Вычислить точность броска , где определяется из условий: , , .

Рассмотрим особенности приведенной в примере концептуальной постановки задачи о баскетболисте.

Первая из перечисленных гипотез особенно важна, так как она выделяет объект моделирования. В данном случае объект можно считать простым. Однако в качестве объекта моделирования можно рассматривать систему «игрок — мяч — кольцо». Требуемая для описания подобной системы модель будет уже намного сложнее, так как игрок в свою очередь представляет сложную биомеханическую систему и его моделирование является сложной задачей. В данной ситуации выбор в качестве объекта моделирования только мяча обоснован, поскольку именно его движение требуется исследовать, а влияние игрока можно учесть достаточно просто через начальные параметры броска.

Гипотеза о том, что мяч можно считать материальной точкой, широко применяется для исследования движений тел в механике. В рассматриваемом случае она оправдана в силу симметрии формы мяча и малости его радиуса по сравнению с характерными расстояниями перемещения мяча. Предполагается, что последний является шаром с одинаковой толщиной стенки.

Гипотезу о применимости в данном случае законов классической механики можно обосновать огромным экспериментальным материалом, связанным с изучением движения тел вблизи поверхности Земли со скоростями много меньше скорости света. Учитывая, что высота полета мяча лежит в пределах 5—10 м, а дальность — 5—20 м, предположение о постоянстве ускорения свободного падения также представляется обоснованным. Если бы моделировалось движение баллистической ракеты при дальности и высоте полета более 100 км, то пришлось бы учитывать изменение ускорения свободного падения в зависимости от высоты и широты места.

Гипотеза о движении мяча в плоскости, перпендикулярной поверхности Земли, ограничивает класс рассматриваемых траекторий и значительно упрощает модель. Траектория мяча может не лежать в одной плоскости, если при броске он сильно подкручивается вокруг вертикальной оси. В этом случае скорости точек поверхности мяча относительно воздуха на различных сторонах мяча будут различны. Для точек, движущихся навстречу потоку, относительная скорость выше, а для точек противоположной стороны, движущихся по потоку, — ниже скорости центра масс мяча. В соответствии с законом Бернулли, давление газа на поверхность больше там, где его относительная скорость меньше. Поэтому для ситуации, изображенной на рис. 2.3, на мяч будет действовать дополнительная сила, направленная (для данной схемы) сверху вниз. Этот эффект будет проявляться тем больше, чем больше скорость центра масс мяча и скорость его вращения. Для баскетбола характерны относительно низкие скорости полета мяча (до 10 м/с). При этом довольно редко используется подкрутка мяча рукой. Поэтому гипотеза о движении мяча в одной плоскости кажется оправданной. Ее использование позволяет отказаться от построения значительно более сложной трехмерной модели движения мяча.

Гипотеза об отсутствии влияния сопротивления воздуха наименее обоснована. При движении тела в газе или жидкости сила сопротивления увеличивается с ростом скорости движения. Учитывая невысокие скорости движения мяча, его правильную обтекаемую форму и малые дальности бросков, указанная гипотеза может быть принята в качестве первого приближения.

Следует отметить, что концептуальная постановка задачи моделирования в отличие от содержательной постановки использует терминологию конкретной дисциплины (в рассматриваемом случае - механики). При этом моделируемый реальный объект (мяч) заменяется его механической моделью (материальной точкой). Фактически в приведенном примере концептуальная постановка свелась к постановке классической задачи механики о движении материальной точки в поле сил тяжести. Концептуальная постановка более абстрактна по отношению к содержательной, так как материальной точке можно сопоставить произвольный материальный объект, брошенный под углом к горизонту: футбольный мяч, ядро, камень или артиллерийский снаряд.

2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Законченная концептуальная постановка позволяет сформулировать математическую постановку задачи моделирования, включающую совокупность различных математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Математическая постановка задачи моделирования — это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Совокупность математических соотношений определяет вид оператора модели. Наиболее простым будет оператор модели в случае, если он представлен системой алгебраических уравнений. Подобные модели можно назвать моделями аппроксимационного типа, так как для их получения часто используют различные методы аппроксимации имеющихся экспериментальных данных о поведении выходных параметров объекта моделирования в зависимости от входных параметров и воздействий внешней среды, а также от значений внутренних параметров объекта.

Однако область применения моделей подобного типа ограничена. Для создания математических моделей сложных систем и процессов, применимых для широкого класса реальных задач требуется, как уже отмечалось выше, привлечение большого объема знаний, накопленных в рассматриваемой дисциплине (а в некоторых случаях и в смежных областях). В большинстве дисциплин (особенно естественно-научных) эти знания сконцентрированы в аксиомах, законах, теоремах, имеющих четкую математическую формулировку.

Следует отметить, что во многих областях знаний (механике, физике, биологии и т.д.) принято выделять законы, справедливые для всех объектов исследования данной области знаний, и соотношения, описывающие поведение отдельных объектов или их совокупностей. К числу первых в физике и механике относятся, например, уравнения баланса массы, количества движения, энергии и т.д., справедливые при определенных условиях для любых материальных тел, независимо от их конкретного строения, структуры, состояния, химического состава. Уравнения этого класса подтверждены огромным количеством экспериментов, хорошо изучены и в силу этого применяются в соответствующих математических моделях как данность. Соотношения второго класса в физике и механике называют определяющими, или физическими уравнениями, или уравнениями состояния. Они устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупностей (например, жидкостей, газов, упругих или пластических сред и т.д.) при воздействиях различных внешних факторов.

Соотношения второго класса гораздо менее изучены, а в ряде случаев их приходится устанавливать самому исследователю (особенно при анализе объектов, состоящих из новых материалов). Необходимо отметить, что определяющие соотношения — это основной элемент любой математической модели физико-механических процессов. Именно ошибки в выборе или установлении определяющих соотношений приводят к количественно (а иногда и качественно) неверным результатам моделирования.

Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор модели. В большинстве случаев оператор модели включает в себя систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) и/или интегродифференциальных уравнений (ИДУ). Для обеспечения корректности постановки задачи к системе ОДУ или ДУЧП добавляются начальные или граничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгебраическими или дифференциальными соотношениями различного порядка.

Можно выделить несколько наиболее распространенных типов задач для систем ОДУ или ДУЧП:

задача Коши, или задача с начальными условиями, в которой по заданным в начальный момент времени переменным (начальным условиям) определяются значения этих искомых переменных для любого момента времени;

начально-граничная, или краевая, задача, когда условия на искомую функцию выходного параметра задаются в начальный момент времени для всей пространственной области и на границе последней в каждый момент времени (на исследуемом интервале);

задачи на собственные значения, в формулировку которых входят неопределенные параметры, определяемые из условия качественного изменения поведения системы (например, потеря устойчивости состояния равновесия или стационарного движения, появление периодического режима, резонанс и т.д.).

Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок:

Контроль размерностей, включающий правило, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности. При переходе к вычислениям данная проверка сочетается с контролем использования одной и той же системы единиц для значений всех параметров.

Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнительных порядков складываемых величин и исключением малозначимых параметров. Например, если для выражения в результате оценки установлено, что в рассматриваемой области значений параметров модели и третьим слагаемым в исходном выражении можно пренебречь.

Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных параметров модели, вытекающие из выписанных математических соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели.

Контроль экстремальных ситуаций — проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результаты моделирования, если параметры модели или их комбинации приближаются к предельно допустимым для них значениям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, математические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка. Например, в задачах механики деформируемого твердого тела деформация материала в исследуемой области в изотермических условиях возможна лишь при приложении нагрузок, отсутствие же нагрузок должно приводить к отсутствию деформаций.

Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они использованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удовлетворяют данным условиям.

Контроль физического смысла — проверка физического или иного, в зависимости от характера задачи, смысла исходных и промежуточных соотношений, появляющихся по мере конструирования модели.

Контроль математической замкнутости, состоящий в проверке того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, притом однозначно, решить поставленную математическую задачу. Например, если задача свелась к отысканию неизвестных из некоторой системы алгебраических или трансцендентных уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того факта, что число независимых уравнений должно быть . Если их меньше и, то надо установить недостающие уравнения, а если их больше я, то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна постановка задачи, при которой число уравнений превышает , но сами уравнения удовлетворяются лишь приближенно, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов. Неравенств среди условий также может быть любое число, как это бывает, например, в задачах линейного программирования.

Свойство математической замкнутости системы математических соотношений тесно связано понятием корректно поставленной математической задачи, т.е. задачи, для которой решение существует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных. В данном случае решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.

Понятие корректности задачи имеет большое значение в прикладной математике. Например, численные методы решения оправдано применять лишь к корректно поставленным задачам. При этом далеко не все задачи, возникающие на практике, можно считать корректными (например, так называемые обратные задачи). Доказательство корректности конкретной математической задачи — достаточно сложная проблема, она решена только для некоторого класса математически поставленных задач. Проверка математической замкнутости является менее сложной по сравнению с проверкой корректности математической постановки. В настоящее время активно исследуются свойства некорректных задач, разрабатываются методы их решения. Аналогично понятию «корректно поставленная задача» можно ввести понятие «корректная математическая модель».

Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.

Пример. Математическая постановка задачи о баскетболисте.

Математическую постановку задачи о баскетболисте можно представить как в векторной, так и в координатной форме (рис. 2.4).

1. Векторная форма.

Найти зависимости векторных параметров от времени - и — из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

,

при начальных условиях

,

Вычислить параметр по формуле

где определить из следующих условий:

, , ,

Проецируя векторные соотношения - на оси координат, получим математическую постановку задачи о баскетболисте в координатной форме.

2. Координатная форма.

Найти зависимости , и , из решения системы диф­ференциальных уравнений:

, , , ,

при следующих начальных условиях:

, , ,

Вычислить параметр по формуле

где определить из условий

, ,

Как можно видеть, с математической точки зрения задача о баскетболисте свелась к задаче Коши для системы ОДУ первого порядка с заданными начальными условиями. Полученная система уравнений является замкнутой, так как число независимых уравнений (четыре дифференциальных и два алгебраических) равно числу искомых параметров задачи (, , , , , ). Выполним контроль размерностей задачи:

уравнение динамики

связь скорости и перемещения

Существование и единственность решения задачи Коши доказана математиками. Поэтому данную математическую модель можно считать корректной.

Математическая постановка задачи еще более абстрактна, чем концептуальная, так как сводит исходную задачу к чисто математической (например, к задаче Коши), методы решения которой достаточно хорошо разработаны. Умение свести исходную проблему к известному классу математических задач и обосновать правомочность такого сведения требует высокой квалификации математика-прикладника и особенно высоко ценится в исследовательских коллективах.

2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

При использовании разработанных математических моделей, как правило, требуется найти зависимость некоторых неизвестных заранее параметров объекта моделирования (например, координат и скорости центра масс тела, точности броска), удовлетворяющих определенной системе уравнений. Таким образом, поиск решения задачи сводится к отысканию некоторых зависимостей искомых величин от исходных параметров модели. Как уже было отмечено ранее, все методы решения задач, составляющих «ядро» математических моделей, можно подразделить на аналитические и алгоритмические.

Следует отметить, что при использовании аналитических решений для получения результатов «в числах» также часто требуется разработка соответствующих алгоритмов, реализуемых на ЭВМ. Однако исходное решение при этом представляет собой аналитическое выражение (или их совокупность). Решения же, основанные на алгоритмических методах, принципиально не сводимы к точным аналитическим решениям рассматриваемой задачи.

Выбор того или иного метода исследования в значительной степени зависит от квалификации и опыта членов рабочей группы. Как уже было отмечено, аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае, если математическая задача (хотя бы и в упрощенной постановке) допускает аналитическое решение, последнее, без сомнения, предпочтительнее численного.

Алгоритмические методы сводятся к некоторому алгоритму, реализующему вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ. Точность моделирования в подобном эксперименте существенно зависит от выбранного метода и его параметров (например, шага интегрирования). Алгоритмические методы, как правило, более трудоемки в реализации, требуют хорошего знания методов вычислительной математики, обширной библиотеки специального программного обеспечения и вычислительной техники. Современные модели на базе алгоритмических методов разрабатываются в исследовательских организациях, которые зарекомендовали себя как авторитетные научные школы в соответствующей области знания.

Причем численные методы применимы лишь для корректных математических задач, что существенно ограничивает использование их в математическом моделировании.

Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Например, траектория центра тяжести баскетбольного мяча определяется не как непрерывная функция времени, а как табличная (дискретная) функция координат от времени, т.е. определяющая значения координат лишь для конечного числа моментов времени. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

Применение любого численного метода неминуемо приводит к погрешности результатов решения задачи. Выделяют три основных составляющих возникающей погрешности при численном решении исходной задачи:

неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений);

погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу исходной задачи (например, заменяя производную разностным аналогом , получаем погрешность дискретизации, имеющую при порядок );

ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в ЭВМ.

Естественным требованием для конкретного вычислительного алгоритма является согласованность в порядках величин перечисленных трех видов погрешностей.

Численный, или приближенный, метод реализуется всегда в виде вычислительного алгоритма. Поэтому все требования, предъявляемые к алгоритму, применимы и к вычислительному алгоритму. Прежде всего, алгоритм должен быть реализуем — обеспечивать решение задачи за допустимое машинное время. Важной характеристикой алгоритма является его точность, т.е. возможность получения решения исходной задачи с заданной точностью за конечное число действий. Очевидно, чем меньше , тем больше затрачиваемое машинное время. Для очень малых значений время вычислений может быть недопустимо большим. Поэтому на практике добиваются некоторого компромисса между точностью и затрачиваемым машинным временем. Очевидно, что для каждой задачи, алгоритма и типа ЭВМ имеется свое характерное значение достигаемой точности.

Время работы алгоритма зависит от числа действий , необходимых для достижения заданной точности. Для любой математической задачи, как правило, можно предложить несколько алгоритмов, позволяющих получить решение с заданной точностью, но за разное число действий . Алгоритмы, включающие меньшее число действий для достижения одинаковой точности, будем называть более экономичными, или более эффективными.

В процессе работы вычислительного алгоритма на каждом акте вычислений возникает некоторая погрешность. При этом от действия к действию она может возрастать или не возрастать (а в некоторых случаях даже уменьшаться). Если погрешность в процессе вычислений неограниченно возрастает, то такой алгоритм называется неустойчивым, или расходящимся. В противном случае алгоритм называется устойчивым, или сходящимся.

Выше уже отмечалось, что вычислительная математика объединяет огромный пласт разнообразных, быстро развивающихся численных и приближенных методов, поэтому практически невозможно привести их законченную классификацию. Стремление получить более точные, эффективные и устойчивые вычислительные алгоритмы приводит к появлению многочисленных модификаций, учитывающих специфические особенности конкретной математической задачи или даже особенности моделируемых объектов.

Можно выделить следующие группы численных методов по объектам, к которым они применяются:

интерполяция и численное дифференцирование;

численное интегрирование;

определение корней линейных и нелинейных уравнений;

решение систем линейных уравнений (подразделяют на прямые и итерационные методы);

решение систем нелинейных уравнений;

решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений;

решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений;

решение уравнений в частных производных;

решение интегральных уравнений.

Огромное разнообразие численных методов в значительной степени затрудняет выбор того или иного метода в каждом конкретном случае. Поскольку для реализации одной и той же модели можно использовать несколько альтернативных алгоритмических методов, то выбор конкретного метода производится с учетом того, какой из них больше подходит для данной модели с точки зрения обеспечения эффективности, устойчивости и точности результатов, а также более освоен и знаком членам рабочей группы. Освоение нового метода, как правило, очень трудоемко и связано с большими временными и финансовыми затратами. При этом основные затраты связаны с разработкой и отладкой необходимого программного обеспечения для соответствующего класса ЭВМ, обеспечивающего реализацию данного метода.

Следует отметить, что вычислительная математика в определенном смысле являет собой более искусство, нежели науку (в понимании последней как области культуры, базирующейся на формальной логике). Очень часто эффективность применяемых методов, разработанных программ определяется нарабатываемыми годами и десятками лет интуитивными приемами, не обоснованными с математических позиций. В связи с этим эффективность одного и того же метода может весьма существенно отличаться при его применении различными исследователями.

Пример. Аналитическое решение задачи о баскетболисте.

Константы интегрирования найдем из начальных условий (2.6). Тогда решение задачи можно записать следующим образом:

, , , (2.9)

Для получения решения рассмотренной выше задачи о баскетболисте можно использовать как аналитические, так и численные методы. Проинтегрировав соотношения записанные на прошлой паре по времени, получим

, , , , (2.10)

Примем для простоты, что в момент броска мяч находится в начале координат и на одном уровне с корзиной (т.е. ). Под дальностью броска будем понимать расстояние вдоль оси , которое пролетит мяч от точки броска до пересечения с горизонтальной плоскостью, проходящей через кольцо корзины. Из соотношений (2.10) дальность броска выразится следующим образом:

(2,11)

С учетом (2.7) точность броска

(2.12)

Например, при броске мяча со штрафной линии можно принять следующие исходные данные: ; м; м/с; . Тогда из (2.11) и (2.12) имеем м; м.

Пример. Алгоритмическое решение задачи о баскетболисте.

В простейшем случае можно использовать метод Эйлера. Алгоритм решения данной задачи на псевдокоде приведен ниже.

Алгоритм 2.1

program basket {Задача о баскетболисте};

{Данные: m, R — масса и радиус мяча;

x0, y0 — начальные координаты мяча;

v0, a0 - начальная скорость и угол броска мяча;

xk, yk — координаты центра корзины;

t — текущее время;

dt - шаг по времени;

fx, fy — силы, действующие на мяч;

x, y, vx, vy — текущие координаты и проекции скорости мяча.

Результаты: L и D - дальность и точность броска.}

Begin

g:=9.81;

m:=0.6; R:=0.12;

v0:=6.44; a0:=45;

x0:=0; y0:=0;

xk:=4.225; yk:= 0;

vx:= v0 cos(a0*3.14/180);

vy:= v0 sin(a0*3.14/180);

dt:=0.1;

t:=0;

х:=х0; у:= y0;

while ((vy> 0) or ((v < 0) and (y>yk))) do

Begin

t:= t+dt;

{силы, действующие на мяч}

fx:=0;

fy:= -m*g;

{компоненты скорости}

vx:= vx + fx*dt/m;

vy:= vy + fy*dt/m;

{координаты мяча}

x:=x+dt*vx;

y:=y+dt*vy;

end;

L:= x – x0; D:= L — xk;

Writeln(‘L=’, L:10:4, ‘D=’, D:10:4);

End.

2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ

При создании различных программных комплексов, используемых для решения разнообразных исследовательских, проектно-конструкторских и управленческих задач, в настоящее время, основой, как правило, служат математические модели. В связи с этим возникает необходимость реализации модели в виде программы для ЭВМ.

Процесс создания программного обеспечения можно разбить на ряд этапов:

составление технического задания на разработку пакета программного обеспечения;

проектирование структуры программного комплекса;

кодирование алгоритма;

тестирование и отладка;

сопровождение и эксплуатация.

Техническое задание на разработку программного обеспечения оформляют в виде спецификации. Примерная форма спецификации включает следующие семь разделов:

Название задачи — дается краткое определение решаемой задачи, название программного комплекса, указывается система программирования для его реализации и требования к аппаратному обеспечению (компьютеру, внешним устройствам и т.д.).

Описание — подробно излагается математическая постановка задачи, описываются применяемая математическая модель для задач вычислительного характера, метод обработки входных данных для задач не вычислительного (логического) характера и т.д.

Управление режимами работы программы — формируются основные требования к способу взаимодействия пользователя с программой (интерфейс «пользователь-компьютер»).

Входные данные — описываются входные данные, указываются пределы, в которых они могут изменяться, значения, которые они не могут принимать, и т.д.

Выходные данные — описываются выходные данные, указывается, в каком виде они должны быть представлены (в числовом, графическом или текстовом), приводятся сведения о точности и объеме выходных данных, способах их сохранения и т.д.

Ошибки — перечисляются возможные ошибки пользователя при работе с программой (например, ошибки при вводе входных данных), указываются способы диагностики (в данном случае под диагностикой понимается выявление, обнаружение ошибок при работе программного комплекса) и защиты от этих ошибок на этапе проектирования, а также возможная реакция пользователя при совершении им ошибочных действий и реакция программного комплекса (компьютера) на эти действия.

Тестовые задачи — приводятся один или несколько тестовых примеров, на которых в простейших случаях проводится отладка и тестирование программного комплекса.

Пример. Спецификация задачи о баскетболисте.

1. Название задачи

Название программы Basketball

Система программирования Delphi

Компьютер IBM PC Pentium

Операционная система Windows-9x, NT

2. Описание

Приводится математическая постановка задачи и описание метода ее решения, (см. разд. 2.3 и 2.4).

3. Управление режимами работы программы

Для управления режимами работы программы необходимо использовать интерфейс Windows с использованием меню, диалоговых окон, полей ввода данных, кнопок.

4. Входные данные

Радиус и масса мяча, его начальные координаты и скорость, угол бросания, координаты корзины.

5. Выходные данные

Траектория центра мяча, расчетная величина дальности и точность броска. Выходные данные представляются в табличном и графическом виде.

6. Ошибки

При вводе исходных данных предусмотреть контроль:

все вводимые значения должны быть положительны;

угол бросания должен быть в пределах от 5° до 85°;

начальная скорость мяча должен быть в пределах от 0 до 30 м/с;

горизонтальная координата центра корзины должна быть больше начальной горизонтальной координаты мяча.

При диагностировании перечисленных ошибок программа должна выдавать соответствующие сообщения, которые могут сопровождаться звуковым сигналом, и предлагать повторить ввод.

7. Тестовые примеры

При x₀=y₀=y_k = 0; x_k= 4,225; v₀ = 6,44; alfa₀ = 45° получаем: L = 4,225; = 0.

На этапе проектирования формируется общая структура программного комплекса. Вся программа разбивается на программные модули. Для каждого программного модуля формулируются требования по реализуемым функциям и разрабатывается алгоритм, выполняющий эти функции. Определяется схема взаимодействия программных модулей, называемая схемой потоков данных программного комплекса. Разрабатывается план и задаются исходные данные для тестирования отдельных модулей и программного комплекса в целом.

Большинство программ, реализующих математические модели, состоят из трех основных частей:

препроцессора (подготовка и проверка исходных данных модели);

процессора (решение задачи, реализация вычислительного эксперимента);

постпроцессора (отображение полученных результатов).

Лишь для относительно простых случаев эти три составные части могут быть оформлены в виде одной программы. При решении современных задач по моделированию поведения жидкостей, газов и твердых тел каждая из частей может включать в себя целый комплекс программ. Например, постпроцессор должен уметь представлять информацию не только в табличном, но и графическом виде (диаграммы, графики зависимости от различных параметров, отображение скалярных, векторных (тензорных) полей и т.п.). Возможности пре- и постпроцессора наиболее широко реализуются в современных системах автоматизированного проектирования (САПР), где они в значительной степени могут сократить время на получение данных и оценку результатов моделирования.

Как правило, создание современных математических моделей в какой-либо области и доведение их до программных комплексов требует значительных временных затрат (минимум 3—5 лет). Требуется время не только на освоение методик и подходов к моделированию в исследуемой области, но и на наработку библиотек программ по решению возникающих математических задач, по подготовке исходных данных и отображению получаемых результатов. Качественные, надежные, обладающие дружественным интерфейсом, легко модифицируемые и хорошо сопровождаемые программные комплексы можно создавать лишь при наличии хорошо продуманной стратегии развития программного обеспечения, обеспечивающей его модульность и совместимость по входным и выходным параметрам.

Большое значение следует придавать освоению современных технологий программирования: структурной, абстрактной, объектно-ориентированной и визуальной. Назначение любой технологии — это в первую очередь повышение надежности программного обеспечения и увеличение производительности труда программиста. Причем чем серьезней и объемней программный проект, тем большее значение приобретают вопросы использования современных технологий программирования. Пренебрежение данными вопросами может привести к значительным временным издержкам и снижению надежности программного комплекса.

Важнейшим фактором, определяющим надежность и малые сроки создания программного комплекса для решения конкретного класса задач, является наличие развитой библиотеки совместимых между собой программных модулей. Программа получается более надежной и создается за меньшие сроки при максимальном использовании стандартных программных элементов. Для эффективной разработки программного обеспечения в области математического моделирования необходимо обратить внимание на создание следующих стандартных библиотек программ:

приближенные и численные методы (процессоры);

средства подготовки исходных данных (препроцессоры);

средства визуализации и представления результатов (постпроцессоры).

Разработка таких общих библиотек программ возможна лишь при стандартизации потоков передачи данных между препроцессором, процессором и постпроцессором. В простейшем случае речь может идти об унификации форматов передаваемых файлов.

2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ

Под адекватностью математической модели будет пониматься степень соответствия результатов, полученных по разработанной модели, данным эксперимента или тестовой задачи. Прежде чем переходить к проверке адекватности модели, необходимо убедиться в правильном комплексном функционировании всех алгоритмов и программ модели, выполнить независимое тестирование и отладку всех отдельных алгоритмов (например, используемых программных модулей, реализующих используемый численный метод).

Проверка адекватности модели преследует две цели:

убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформулированных на этапах концептуальной и математической постановок. Переходить к проверке гипотез следует лишь после проверки использованных методов решения, комплексной отладки и устранения всех ошибок и конфликтов, связанных с программным обеспечением;

установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.

(Перечисление закончено)

Поиск по сайту: