Общие указания по выполнению контрольной работы

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по курсу «ЭКОНОМЕТРИКА»

для студентов заочного отделения

Набережные Челны

Введение

Контрольное задание и методические указания составлены в соответствии с учебным планом и предназначены для студентов заочного обучения экономического факультета.

Данная учебно-методическая разработка содержит введение; общие указания по выполнению контрольной работы; краткие методические положения, включающие основные понятия, определения, формулы; решения типовых задач; контрольное задание (состоящее из??????? задач), предлагаемое студентам для контроля знаний по курсу эконометрики; список рекомендуемой литературы и приложения, включающие основные статистико-математические таблицы, необходимые для решения задания.

Цель настоящего пособия - обеспечить качественное и своевременное выполнение контрольного задания; помочь студентам в изучении наиболее сложных вопросов курса, в приобретении опыта построения эконометрических моделей и принятия решений о спецификации и идентификации модели, а также получения прогнозных оценок; добиться экономически грамотного оформления результатов работы.

Общие указания по выполнению контрольной работы

1. Работа должна быть представлена в срок, указанный в учебном графике

Первые три задания контрольной работы составлены в пяти вариантах, выбор которых определяется начальной буквой фамилии студента

Выбор варианта в четвертом задании контрольной работы осуще­ствляется согласно порядковому номеру в журнале группы.

2. Оформление работы.

Контрольная работа выполняется в тетради, страницы которой имеют поля для замечаний рецензента и сквозную нумерацию. Работу подписывают и ставят дату выполнения. Титульный лист работы должен содержать следующие сведения:

- фамилию, имя, отчествостудента;

- предметдисциплины;

- дату выполнения работы.

3. Последовательность решения задач должна соответствовать контрольному заданию. Перед решением задачи необходимо переписать ее условие Таблицы оформляются в соответствии с правилами, принятыми в статистике, все расчеты производят с точностью до 0,00001.

4. Для решения первого, второго и четвертого заданий контрольной работы желательно использовать пакет прикладных программ (ППП) Microsoft Excel с приложением соответствующих распечаток.

5. Расчеты по всем заданиям должны быть произведены по соответствующим формулам (формулы приводятся в решении) и пояснены, а результаты проанализированы.

6. Проверенную и допущенную к защите работу вместе с рецензией студент должен представить на защиту. Если имеются замечания, требующие доработки, работу дополняют соответствующими записями в той же тетради.

В первом задании рассматривается парнаялинейнаярегрессия:

(1)

Построение уравнения регрессии сводится к оценке его параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используется метод наименьших квадратов (МНК).

Для линейного уравнения строится следующая система уравнений относительно параметров а и b:

Его решение имеет вид:

, , (2)

где - средние значения результативного признака у и фактора х, п - объем выборки.

Тесноту связи между переменными в линейной регрессии оценивает линейный коэффициент парной корреляции:

, (3)

Коэффициент детерминации R² определяется как квадрат показателя корреляции (линейного коэффициента) и имеет смысл доли факторной СКО в общей СКО:

(4)

здесь - значение результативного признака, рассчитанное по уравнению регрессии при подстановке в него заданных значений х.

R² характеризует качество подгонки кривой под измеренные значения у и изменяется от 0 до 1. В пределе при R²=1 уравнение регрессии точно аппроксимирует заданные значения, т.е. все точки на графике точно ложатся на регрессионную кривую, остаточная СКО равна нулю. Другое предельное значение, R²=0, означает, что уравнение регрессии ничего не дает по сравнению с тривиальным предсказанием , и остаточная СКО равна общей; при этом факторная СКО равна нулю. Однако обычные значения R² находятся между нулем и единицей. Для констатации хорошего качества подготовки кривой нужно, чтобы значение R² было не меньше 0,8. Ошибка аппроксимации для каждого измеренного значения у определяется как относительная (выраженная в процентах) разность между измеренным значением у и значением полученным по уравнению регрессии:

(5)

Осреднение этой величины по всем измеренным значениям у дает среднюю ошибку аппроксимации:

(6)

Таким образом, эта величина характеризует среднее отклонение расчетных значений от фактических. Она должна составлять не более 8 10%. Большее значение свидетельствует о плохом качестве аппроксимации.

По уравнению регрессии можно определить значение коэффициента эластичности. Для линейного уравнения этот коэффициент рассчитывается следующим образом:

(7)

Средний коэффициент эластичности получается при подстановке в формулу среднего значения фактора x.

Статистическая надежность уравнения регрессии в целом оценивается с помощью F- критерия Фишера:

(8)

В числителе и в знаменателе этого выражения стоят значения СКО на одну степень свободы (т.е. дисперсии на одну степень свободы). Факторная дисперсия имеет одну степень свободы и не отличается от значения факторной СКО:

(9)

Остаточная дисперсия имеет число степеней свободы, равное (n-2):

(10)

При анализе достоверности уравнения регрессии в целом фактическое значение F-критерия сравнивается с табличным, которое берется при некотором уровне значимости (например, 0,05) и двух степенях свободы - числителя, равной 1, и знаменателя, равной (n - 2):

Далее выдвигается нуль - гипотеза Н_о том, что остаточная дисперсия равна факторной, т.е. . Это эквивалентно утверждению статистической незначимости уравнения регрессии. Альтернативная гипотеза Н₁ говорит о том, что факторная дисперсия превосходит остаточную, что и означает обоснованность предложенного уравнения и статистическую значимость связи между у и х.

Если , Н_о не отвергается (т.е. принимается), и уравнение регрессии считается статистически незначимым. В противном случае, т.е. превышение факторной дисперсии над остаточной считается неслучайным, и Н_о отвергается. При этом принимается H₁, уравнение регрессии признается статистически значимым.

Прогнозное значение результативного признака получается при подстановке в уравнение регрессии прогнозного значения фактора . Доверительный интервал прогноза значения для вероятности определяется по выражению:

(11)

Значение определяется по таблице t-распределения Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле:

(12)

где (13)

Решение типового задания 1.

По семи территориям Уральского районаза 1995г. известны значения двух признаков:

Требуется:

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости =0,05.

Решение.

1. Для расчета параметров а и b линейной регрессии у = а + bх решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

По исходным данным рассчитываем значение всех сумм:

N п/п	y	x	ух	x2	y2
	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733.44	61,3	7,5	10,9
	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
	59,9	57,2	3426,28	3271.84	3588.01	57,1	2.8	4,7
	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1,5	2.7
	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948.49	60,5	-6,2	11,4
	49,3	55,2	2121,36	3047,04	2430.49	57.8	-8,5	17,2
	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0	56,7

Определяем значение параметра b

=

Среднее значение переменных

(14)

(15)

С их помощью определим параметр а:

= 57,89 + 0,35 • 54,9 = 77,11

Получаем уравнение линейной регрессии:

С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 процентных пункта.

Линейный коэффициент парной корреляции:

Здесь

Cвязь умеренная обратная.

Коэффициент детерминации рассчитывается как квадрат коэффициента корреляции:

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения (колонка 6), а также разности между измеренными значениями и рассчитанными (колонка 7). Величины ошибок аппроксимации в колонке 8 рассчитаем как абсолютную величину значений в колонке 7 по отношению к измеренным значениям в колонке 1 в процентах:

Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%

Рассчитаем средний коэффициент эластичности линейной регрессии:

В среднем при увеличении х на 1% значение у уменьшается на 0.33%

Рассчитаем значение F-критерия:

Поскольку гипотезу Н_о о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения следует принять.

Теперь рассчитаем прогнозное значение по линейной модели при прогнозном значении фактора .

Прогноз результата: .

Определим доверительный интервал для этого прогноза. Для этого нам надо рассчитать стандартную ошибку прогноза по формуле:

Здесь:

Доверительный интервал рассчитывается так:

Здесь: (берем двухстороннее значение t-критерия Стьюдента): t(0,05;5) = 2,57

Доверительный интервал равен: (39,42;74,38)

Истинное значение прогноза с вероятностью 0,95 попадает в этот интервал.

Задание 1.

Вариант 1.

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г.:

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3.С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4 Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Вариант 2.

По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и поволжского районов известны данные за ноябрь 1997 г.

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимациикачествоуравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Вариант 3.

По территориям Северного, Северо-западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997 г.:

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 4% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Вариант 4.

По территориям Восточно-Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997 г.:

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимациикачествоуравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05

Вариант 5.

По территориям Уральского и Западно-Сибирского районов известны данные за ноябрь 1997 г.:

1. Рассчитайте параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надеж­ность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное зна­чение фактора увеличится на 8% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05

Второе задание предполагает изучение многофакторного корреляционно-регрессионного анализа и расчет характеристик уравнения множественной регрессии с целью получения достоверных статистических выводов о наличии зависимости между результативным и факторными признаками.

Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:

(16)

где у - зависимая переменная (результативный признак);

- независимые переменные (факторы);

- параметры;

- случайная величина (ошибка).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений строится следующая система нормальных уравнений, решение которых позволяет получить оценки параметров регрессии:

(17)

Параметры этой системы могут быть найдены, например, методом К. Гаусса.

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

(18)

где , - стандартизованные переменные;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК.

Связь коэффициентов множественной регрессии со стандартизованными коэффициентами описывается соотношением

(19)

Параметр а определяется как

(20)

Средние частные коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по следующей формуле:

(21)

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

(22)

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

Индекс множественной корреляции для стандартизованном масштабе можно записать в виде

(23)

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора определяются по следующим формулам:

Частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками и у при исключении влияния признака вычисляют по формуле:

; (24)

то же - зависимость у от при исключении влияния :

(25)

Взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:

, (26)

где r - парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.

Парные коэффициенты корреляции рассчитываются по следующим формулам:

; (27)

; (28)

(29)

Среднеквадратические отклонения вычисляются по формулам:

(30)

(31)

(32)

На основе парных коэффициентов корреляции и средних квадратических отклонений можно рассчитать параметры уравнения двухфакторной связи по формулам:

; (33)

; (34)

(35)

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

(36)

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

(37)

где n - число наблюдений;

m - число факторов (независимых переменных в уравнении).

Решение типового примера 2.

По 20 предприятиям региона (табл. 1) изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).

Таблица 1

Номер предприятия	у
	7.0	3,9	10,0
	7.0	3.9	14,0
	7,0	3.7	15.0
	7,0	4,0	16.0
	7,0	3,8	17,0
	7,0	4,8	19,0
	8,0	5,4	19,0
	8,0	4,4	20,0
	8,0	5,3	20,0
	10,0	6,8	20,0
	9,0	6,0	21,0
	11,0	6,4	22,0
	9,0	6,8	22,0
	11,0	7,2	25,0
	12,0	8,0	28,0
	12,0	8,2	29,0
	12,0	8,1	30,0
	12,0	8,5	31,0
	14,0	9,6	32,0
	14,0	9,0	36,0

Требуется:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

2. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности.

3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии.

В пп. 2. и 3. на основе полученных результатов сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.

4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.

5. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Решение.

1. Для построения линейного уравнения множественной регрессии необходимо рассчитать параметры уравнения по формулам (33), (34), (35).

Среднеквадратические отклонения определяются по формулам (30), (31), (32); расчет средних величин осуществляется по формулам, приведенным в решении типового примера 1 задания 1 настоящего пособия ((14), (15)).

Представим полученные результаты в расчетной таблице 2:

Таблица 2

	y
		3,9		27,3				15,21
		3,9		27,3		54,6		15,21
		3,7		25,9		55,5		13,89
		3,8		26,6		64,6		14,44
		4,8		33,6		91,2		23,04
		5,4		43,2		102,6		29,16
		4,4		35,2				19,36
		5,3		42,4				28,09
		6,8						46,24
		6,4		70,4		140,8		40,96
		6,8		61,2		149,6		48,24
		7,2		79,2				51,84
		8,2		98,4		237,8		67,24
		8,1		97,2				65.61
		8,5				263,5		72.25
		9,6		134,4		307,2		92,16
Итого		123,8		1276,3		2997,4		837,74
ср.значен..	9,6	6,19	22,3	63,815	229,05	149,87	97,9	41,887	541,4
	5,74	3,5709	44,11
	2,39583	1,889683	6,641536

Парные линейные коэффициенты () рассчитываются соответственно по формулам (27), (28), (29).

Подставляя соответствующие расчетные значения в исходные формулы, имеем:

Таким образом, линейное уравнение множественной регрессии, выражающее зависимость выработки продукции на одного работника у от ввода в действие новых основных фондов и удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих примет вид:

Анализ коэффициентов уравнения множественной регрессии позволяет сделать вывод о степени влияния каждого их факторов на показатель выработки продукции на одного работника. Параметр свидетельствует о том, что с увеличением ввода в действие новых основных фондов на 1 процентный пункт следует ожидать увеличения выработки продукции на одного работника на 0,9459 тыс. руб. (или 945,9 руб.). Увеличение же удельного веса рабочих высокой квалификации на 1 процентный пункт может привести к увеличению выработки на 0,0857. руб. (или на 85,7 руб.). Отсюда можно сделать соответствующие практические выводы и осуществить мероприятия, направленные на повышение выработки.

2. Средние частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов от значения своей средней изменяется результат при изменении фактора на 1% от своей средней и при фиксированном воздействии на всех прочих факторов, включенных в уравнение регрессии.

Средние коэффициенты эластичности для каждого фактора рассчитаем по формуле (21):

С увеличением ввода в действие новых основных фондов на 1% от его среднего уровня выработка на одного работника возрастает на 0,61% от своего среднего уровня; при повышении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1% выработка у увеличивается только на 0,19% от своего среднего уровня. По значениям частных коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на результат у признака фактора , чем признака фактора : 0,6% против 0,19%.

3. Связь стандартизованных коэффициентов с коэффициентами множественной регрессии описывается формулой (19), из которой следует:

Анализ показывает, что на выработку продукции на одного работника наибольшее влияние из двух исследуемых факторов с учетом уровня их вариации способен оказать фактор - ввод в действие основных фондов, так как ему соответствует наибольшее (по абсолютной величине) значение -коэффициента.

4. Расчет линейных коэффициентов парной корреляции определяет тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии. Парные коэффициенты определены нами ранее (см. п. 1. типового примера):

Линейные коэффициенты частной корреляции оценивают тесноту связи значений двух переменных, исключая влияние всех других переменных, представленных в уравнении множественной регрессии. Расчет частных коэффициентов корреляции проведем по формулам (24), (25), (26):

Значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь выработки у как с коэффициентом обновления основных фондов , так и с долей рабочих высокой квалификации ( и ). Но в то же время межфакторная связь весьма тесная и превышает тесноту связи с у. В связи с этим для улучшения данной модели можно исключить из нее фактор как малоинформативный, недостаточно статистически надежный.

Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как очищают парную зависимость от взаимодействия данной пары признаков с другими признаками, представленными в модели. Наиболее тесно связаны у и : связь у и гораздо слабее: а межфакторная зависимость и выше, чем парная у и : . Все это приводит к выводу о необходимости исключить фактор - доля высококвалифицированных рабочих - из правой части уравнения множественной регрессии.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи:

; ; ; .

Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной зависимости.

Индекс множественной корреляции может быть рассчитан по формуле (22) или через стандартизованные коэффициенты по формуле (23). Определим его, например, по формуле (23):

Индекс множественной корреляции измеряет одновременное влияние факторных признаков на результативный.

5. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается по формуле (36) как квадрат индекса множественной корреляции:

.

Коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94,7% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, другими словами - на весьма теснуюсвязь факторов с результатом.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает F-критерий Фишера, определяемый по формуле (37):

Анализ выполняется при сравнении фактического и табличного (критического) значений F-критерия Фишера.

>

Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения множественной регрессии и показателя тесноты связи .

Поиск по сайту: