Теоремы об операциях над пределами

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

Понятие функции.

Понятие функции является одним из основных математических понятий.

Пусть имеются два множества X и Y. Элементами множества X являются некоторые числа x₁, x₂,… x_n. Элементами множества Y – числа у₁, у₂,… у_n.

Функцией называют соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу первого множества по определенному закону ставится в соответствие не более одного элемента второго множества.

Функцию обозначают, например, у= f (x) или у= u(x), у= g(x) ит.д.

В рассматриваемом случае х называют независимой переменной или аргументом функции, у – значением функции.

Функцию можно задать различными способами.

Аналитически – задание функции с помощью формулы.

Например: у= 6х – 18 или у = х²– 6х – 2 и т.д.

Таблично – задание функции в виде таблицы. Такой способ задания функции удобен и широко используется при записи результатов наблюдений.

Например: Изменение массы растительного сырья при сушке

Геометрически – задание функции в виде графика. Данный способ представления функции является наглядным.

Предел функции.

Теория пределов позволяет определить поведение функции при заданном изменении аргумента, установить непрерывность, дифференцируемость интегрируемость функции и.т.д.

Рассмотрим пример, поясняющий понятие предела. Пусть задана функция определенная при всех х.

Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента.

X	-2	-1
Y

Чем больше значение аргумента, тем ближе значение функции к нулю. Говорят, что 0 является пределом функции f (x) при х стремящимся к + ∞.

Определение. Число b называется пределом функции при стремлении х к а, если для любого сколь угодно малого числа >0, для всех x из некоторой окрестности точки а, исключая, быть может, саму точку а, будет выполняться неравенство: |f(x)-b|<

Пишут.

Теоремы об операциях над пределами

Т1 Теорема о пределе суммы.

Если и ,

то

Т2 Теорема о пределе произведения.

Если и

то

Т3 Теорема о вынесении постоянного множителя за знак предела. Если,

то

Т4 Теорема о пределе частного.

Если , и ,

то

Пример 1.1 Вычислить

Р е ш е н и е: Вынесем в числителе и знаменателе за скобку, и сократим:

учитывая, что и теоремы Т1-Т4 получаем:

= .

Пример: 1.2

Р е ш е н и е: Подставим вместо х значение аргумента x=-4

Получаем неопределенность :

=

Разложим числитель и знаменатель на множители, как квадратные трехчлены, используя формулу:

где и корни квадратного уравнения

Числитель дроби

Следовательно,

Аналогично разложим на множители знаменатель дроби:

Тогда:

сократим на (x+4)и подставим x=-4

Поиск по сайту: