Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь

Достатньо велика кількість інженерних задач на проміжному етапі вирішення зводиться до вирішення системи нелінійних рівнянь. Це одна з найважчих задач з точки зору реалізації її на ЕОМ. Одним із найбільш простих алгоритмів її рішення є метод Ньютона. Це найбільш розповсюджений метод розв’язання систем нелінійних рівнянь. Його популярність обумовлена тим, що в порівнянні з методом простої ітерації він забезпечує найбільш швидку збіжність. В основі методу Ньютона лежить представлення всіх n рівнянь у вигляді рядів Тейлора.

Розглянемо алгоритм методу Ньютона.

Нехай дана система нелінійних рівнянь виду

(4.20)

де – неперервно-диференційні функції.

2. Алгоритм методу базується на розкладі кожної функції системи в околі точки з координатами в ряд Тейлора.

члени рядів вищих порядків ( тощо).

1. Початкова система буде мати вигляд:

(4.21)

2. Припустимо, що прирости вибрані таким чином, що точки з координатами є коренями даної системи рівнянь з заданим степенем наближення . Тоді ліву частину рівнянь системи (4.21) можна прирівняти до нуля, тобто система рівнянь (4.21) буде мати вигляд:

(4.22)

Або в матричній формі система (4.22) буде мати вигляд:

(4.23)

де – матриця Якобі.

3. В результаті таких перетворень система рівнянь може розглядатися як система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно . В такому випадку, якщо врахувати, що заданий вектор х початкових наближень виду:

,

можливо розв'язувати систему відносно вектора приросту , та знайти розв'язок системи, як сума попереднього значення та вектора :

(4.24)

Дану задачу можна розв'язати з будь-якої точки, вибравши вектор початкових наближень.

4. Процес розв’язання системи нелінійних рівнянь (4.20) з використанням системи лінійних алгебраїчних рівнянь (4.23) відносно - ітераційний, та буде продовжуватись до тих пір, поки всі координати вектору приростів не стануть менше за абсолютною величиною заданої похибки , тобто .

Завдання 2
Розв'язати систему нелінійних рівнянь з точністю до e=0,01
методом простих ітерацій або Ньютона
	Варіант
Розв'яжемо систему методом Ньютона-Рафсона
Для уточненя кореня перетворимо початкові рівняння до виду
Відділимо розв'язок системи шляхом табулювання функцій F1, F2 та побудови графіка
x	F1	F2
0,8	2,564901	1,28449
0,9	2,353766	1,26231
	2,09009	1,23932
1,1	1,768036	1,21545
1,2	1,381766	1,1906
1,3	0,925441	1,16467
1,4	0,393225	1,13753
1,5	-0,22072	1,10903
1,6	-0,92223	1,07898
1,7	-1,71715	1,04716
Наближений розв'язок системи в точці перетину графіків функції при
x=	1,3	y=
Знайдемо
Наступні наближення для уточненя коренів рівнян підраховуємо за формулою
Поправки знаходяться з розв'язку системи
Обчислення завершимо при виконанні наступної умови
max(|xn+1-xn|; |yn+1-yn|)<	e

Поиск по сайту: