Теоремы сложения и умножения вероятностей. Понятие условной вероятности

Теорема сложения

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AnB)

Док-во: воспользуемся геометрической трактовкой вероятности

Пл.A+пл.B-пл.(AnB),

а т.к. площадь совпадает с вероятностью то мы доказали

В частности, если AnB= , то теорема совпадает с аксиомой вероятностей: P(AuB)=P(A)+P(B)

P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AnB)-P(AnC)-P(BnC)+P(AnBnC)

Условная вероятность

Для формулировки т. умножения вероятности т.е. P(AnB) нам потребуется условная вероятность события B S

Из понятия частоты мы дадим определение:

Условной вероятностью события A при условии, что событие B наступило, т.е. P(B) 0 назыв. величина:

P(A/B)= P(B) 0

Т.к. события A и B равноправные относительно рассуждения

P(B/A)= P(A)

Теорема умножения вероятностей

При условии P(A) 0 и P(B) 0, то P(AnB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)

Док-во следует из опр. Условной вероятности

Если условная вероятность события совпадает с безусловной, т.е. P(A/B)=P(A) (*), то

говорят, что событие A не зависит от B, в этом случае теорема об умножении принимает вид:

P(AnB)=P(A)P(B) (**)

Выражения (*) и (**) эквивалентны и тогда события A и B назыв. независимыми

Сл. из т. умножения

P(AnBnC)=P(A)P(B/A)P(C/AnB)

6. п.1 Пусть Mi(i=1,2…n) попарно несовместные события образующие полную группу (P(Mi)=0). Пусть событие А может наступить только вместе с одним из них с некоторой условной вероятностью (P(A|Mi). Тогда справедлива так называемая ф-ла полной вероятности P(A)= (1)

События Mi по отношению к событию А являются гипотезами

Доказательство

А=(А M1) (события в скобках несовместные)

Тогда P(A)=P[(A M1) = применим т. о сложении несовм событий = = ч.т.д.

п.2. теорема байеса

пусть выполнены условия п.1 и стало известно что событие А произошло. тогда справедлива формула P(Mi|A)=(P(Mi)P(A|Mi))/ (2)

Док-во

P(A Mi)=P(A)P(Mi|A)=P(Mi)P(A|Mi)

P(Mi|A)=(P(Mi)P(A|Mi))/P(A)= (P(Mi)P(A|Mi))/ ч.т.д.

Рассмотрим содержательную часть ф-лы (1) и (2).Пусть событие А происходит при различных условиях по поводу некоторых можно высказать условие Mi. Допустим что известны вероятности Mi(априорные) ф-ла (2) дает значение вероятности если же известно какая из нипотез в действительности произошла.Пусть теперь событие А произошло, тогда можно пересчитать т.е. вычислить условные вероятности P(Mi) по формуле (2) эти уточненные обстоятельства назыв. Апостериорными

7. схема бернули

Испытание наз. независимыми если исход каждого из них не зависит от исхода всех предшествующих. В схеме Бернули рассм. серия n независимых испытаний, каждое из которых имеет лиша 2 исхода, наступление какого либо события А(успех) или его не наступление причем вероятность успеха при одном испытании P(A)=P(0<p<1) вероятность постоянна и не зависит от номера испытания, числа Р и n наз. Параметрами схемы Бернули.

В этих усл. Нам надо найти вероятность того что событие А в данной серии из n испытаний наступит не раз(0 n). Это определяется по ф-ле Бернули P_n(m)=C^m_n p^mp^n-m q=1-p

8. Определение функции распределения и её свойства

Случайной величиной наз. величина которая в ряде эксперимента может принимать то или иное значение причем заранее не известно какое именно. Функцией распределения случ. вел. X наз функция F(x) определяемая равенством F(x)=P(X<x) эта ф-ия наз. так же интегральной функцией или законом распределения слу. Вел. Это самая универсальная характеристика. Она справедлива как для дисперсных так и непрерывных случ. вел. И полностью характеризует слу. Вел. с вероятнотностной точкой зрения т.е. одной из форм законов распределения.

Общие свойства ффункции распределения

1)для любого вещественного x

2) F(x) неубывающая функция т.е. x_{1 2} F(x₁₎ F(x₂₎

3)вероятность попадания x в X в [a,b] равна приращению функции на этот промежуток x_1<x₂ P(x₁ X<x₂)= F(x₂₎- F(x₎

4) =0 =1

5)непрерывна слева т.е. =f(x₀) – по письменному

В тетради f(x)- непрерывна справа F(x-0)=F(x)

9. Мат ожидание случ. вел-ны и его св-ва

Мат. Ожиданием или средним значением случ. вел-ны X заданной на дискретном множестве элементарных исходов наз. MX= _k)P(w_k) суммой ряда, при условии что ряд сх. Абсолютно.

Если ряд не абсолютно сходящийся то говорят что случю вел-на X математич. ожид. Не имеет.

Св-ва мат. ожидания:

1)MC=C где С-const математич. ожидание постоянной равно самой постоянной

2)М(СХ)=CMX, c=const

3)пусть X и Y две случ. величины заданные на одном и том же множестве исх. Тогда если сущ. MX и MY то сущ. и M(x+y) причем M(x+y)=MX+MY

4)M(C₁X+C₂Y)=C₁X+C₂Y

5) пусть X имеет ряд распределения

Тогда если MX сущ. то MX= x_ip_i

6)пусть X и Y независимые случ. вел. тогда если сущ. MX и MY то сущ. M(XY) причем M(XY)=MX*MY

Пусть X и Y независимы случ. вел-ны заданные на одном и том же множестве элементарных исходов, говорят что X и Y независимы

P(X=Xi,Y=Yi)=P(X=Xi)*P(Y=Yi) для любых Xi Yi

10. Дисперсия случ. вел. на дискретном множестве событий и её свойства

Пусть X имеющая мат. ожидание. Дисперсией случ. вел. X наз. мат. ожидание квадрата её отклонения от своего мат. ожидания DX=M(X-MX)²

Свойства дисперсии

1)DC=0 с=const

2)DX 0

3) D(CX)=C²DX

4)Если X и Y две независимые случ. вел. Имеющие диспресию то D(X+Y)=DX+DY

5) DX=M(X²)-(MX)²

Док-во (3)

DX=M(x²-2X*MX+(MX)²)=MX²-M(2X*MX)+M(MX)²=MX²-2MX*MX+(MX)²=MX²-(MX)²

Док-во (4)

D(X+Y)=M(X+Y)²-(M(X+Y))²= MX²+2MXY+MY²-(MX)²-2MX*MY-(MY)²=MX²-(MX)²-MY²-(MY)²+2(MXY-MX*MY)=DX+DY+2(MX*MY+MX*

Поиск по сайту: