Множественная корреляция

Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – коэффициента детерминации.

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком (оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат).

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:

(3.6)

где - общая дисперсия результативного признака;

- остаточная дисперсия для уравнения .

Методика построения индекса множественной корреляции аналогична построению индекса корреляции для парной зависимости. Границы его изменения те же: от 0 до 1. Чем ближе к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции: .

При правильном включении факторов в регрессионный анализ величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости.

Расчет индекса множественной корреляции предполагает определение уравнения множественной регрессии и на его основе остаточной дисперсии:

.

Можно пользоваться формулой индекса множественной корреляции:

(3.7)

При линейной зависимости признаков формула индекса корреляции:

(3.8)

где - стандартизованные коэффициенты регрессии;

- парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множественной корреляции или совокупного коэффициента корреляции.

Возможно также при линейной зависимости определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции:

(3.9)

где - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

Для уравнения определитель матрицы коэффициентов парной корреляции имеет вид:

(3.10)

Определитель более низкого порядка остается, когда вычеркиваются из матрицы коэффициентов парной корреляции первый столбец и первая строка, что соответствует матрице коэффициентов парной корреляции между факторами:

(3.11)

Величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляции результата с каждым из факторов, но и от межфакторной корреляции. Рассмотренная формула позволяет определять совокупный коэффициент корреляции, не обращаясь при этом к уравнению множественной регрессии, а используя лишь парные коэффициенты корреляции.

При трех переменных для двухфакторного уравнения регрессии данная формула совокупного коэффициента корреляции легко приводится к виду:

(3.12)

Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции не только при линейной зависимости рассматриваемых признаков. Тождественность этих показателей, как и в парной регрессии, имеет место и для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным. Например, для фирмы модель прибыли имеет вид:

, где

- удельные расходы на рекламу;

- капитал фирмы;

- доля продукции фирмы в общем объеме продаж данной группы товаров по региону;

- процент увеличения объема продаж фирмы по сравнению с предыдущим годом.

Тогда независимо от того, что фактор задан линейно, а факторы - в логарифмах, оценка тесноты связи может быть произведена с помощью линейного коэффициента множественной корреляции. Если рассматриваемая модель в стандартизованном виде оказалась следующей:

,

а парные коэффициенты корреляции прибыли с каждым из ее факторов составили: .

Коэффициент множественной детерминации:

.

Тот же результат даст и индекс множественной детерминации, определенный через соотношение остаточной и общей дисперсии результативного признака.

В показателях множественной корреляции (индекс и коэффициент) используется остаточная дисперсия, которая имеет систематическую ошибку в сторону преуменьшения, тем более значительную, чем больше параметров определяется в уравнении регрессии при заданном объеме наблюдений . Если число параметров при равно и приближается к объему наблюдений, то остаточная дисперсия будет близка к нулю и коэффициент (индекс) корреляции приблизится к единице даже при слабой связи факторов с результатом. Для того чтобы не допустить возможного преувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс (коэффициент) множественной корреляции.

Скорректированный индекс множественной корреляции содержит поправку на число степеней свободы, а именно остаточная сумма квадратов делится на число степеней свободы остаточной вариации , а общая сумма квадратов отклонений - на число степеней свободы в целом по совокупности .

Формула скорректированного индекса множественной детерминации имеет вид:

(3.13)

- число параметров при переменных ;

- число наблюдений.

Так как , то величина скорректированного индекса детерминации:

(3.14)

Чем больше величина , тем сильнее различия и .

Для линейной зависимости признаков скорректированный коэффициент множественной корреляции определяется по той же формуле, что и индекс множественной корреляции, т.е. как корень квадратный из . Отличие состоит лишь в том, что в линейной зависимости под подразумевается число факторов, включенных в регрессионную модель, а в криволинейной зависимости - число параметров при и их преобразованиях, которое может быть больше числа факторов как экономических переменных.

Например, если , то для линейной регрессии , а для регрессии вида: число параметров при . При заданном объеме наблюдений при прочих равных условиях с увеличением числа независимых переменных (параметров) скорректированный коэффициент множественной детерминации убывает. Его величина может стать и отрицательной при слабых связях результата с факторами. В этом случае он должен считаться равным нулю. При небольшом числе наблюдений скорректированная величина коэффициента множественной детерминации имеет тенденцию переоценивать долю вариации результативного признака, связанную с влиянием факторов, включенных в регрессионную модель.

Пример. При для линейного уравнения регрессии с четырьмя факторами , а с учетом корректировки на число степеней свободы

Чем больше объем совокупности, по которой исчислена регрессия, тем меньше различаются показатели и . Так, уже при при том же значении и величина составит 0,673.

Величина коэффициента множественной детерминации используется для оценки качества регрессионной модели. Низкое значение коэффициента (индекса) множественной корреляции означает, что в регрессионную модель не включены существенные факторы – с одной стороны, а с другой стороны – рассматриваемая форма связи не отражает реальные соотношения между переменными, включенными в модель. Требуются дальнейшие исследования по улучшению качества модели и увеличению ее практической значимости.

Поиск по сайту: