Частная корреляция

Ранжирование факторов, участвующих в множественной линейной регрессии, может быть проведено через стандартизованные коэффициенты регрессии . Эта же цель может быть достигнута с помощью частных коэффициентов корреляции – для линейных связей. При нелинейной взаимосвязи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексы детерминации. Частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения того или иного фактора в модель доказывается величиной показателя частной корреляции.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

Если выразить остаточную дисперсию через показатель детерминации , то формула коэффициента частной корреляции примет вид:

(3.15)

(чистое влияние на результат фактора ).

Соответственно чистое влияние фактора на результат :

(3.16)

Показатели частной корреляции принято называть коэффициентами (индексами) частной корреляции первого порядка, ибо они фиксируют тесноту связи двух переменных при закреплении одного фактора.

Если рассматривается регрессия с числом факторов , то возможны частные коэффициенты корреляции не только первого, но и второго, третьего, …., порядка, т.е. влияние фактора можно оценить при разных условиях независимости действия других факторов:

- при постоянном действии фактора ;

- при постоянном действии факторов и ;

- при неизменном действии всех факторов, включенных в уравнение регрессии.

В практических исследованиях предпочтение отдают показателям частной корреляции самого высокого порядка, ибо именно эти показатели являются дополнением к уравнению множественной регрессии.

В общем виде при наличии факторов для уравнения коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

(3.17)

где - множественный коэффициент детерминации всего комплекса факторов с результатом;

- тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора .

При формула коэффициента частной корреляции:

(3.18)

Коэффициент частной корреляции позволяет измерить тесноту связи между и при неизменном уровне всех других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, - коэффициент частной корреляции первого порядка. Соответственно коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка. Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле:

(3.19)

При двух факторах и данная формула примет вид:

(3.20)

При и двух факторах частный коэффициент корреляции:

(3.21)

Для уравнения регрессии с тремя факторами частные коэффициенты корреляции второго порядка определяются на основе частных коэффициентов корреляции первого порядка.

(3.22)

Пример. Изучается зависимость тиража газеты от ожидаемого дохода от распродажи газеты , количества персонала редакции , рейтинга газеты других газет, распространяемых в регионе . В этом случае матрица парных коэффициентов корреляции составила:

Частные коэффициенты корреляции первого порядка зависимости от и .

,

т.е. при закреплении фактора на постоянном уровне корреляция и оказывается более низкой (0,585 против 0,69);

т.е. при закреплении фактора на постоянном уровне влияние фактора на оказывается менее сильным (0,409 против 0,58);

т.е. при закреплении фактора на постоянном уровне влияние фактора на несколько снизилось по сравнению с парной корреляцией (0,574 против 0,69) ввиду некоторой связи факторов и ;

т.е. при закреплении фактора на постоянном уровне влияние на фактора оказалось менее сильным (0,465 против 0,58);

т.е. корреляция фактора с снизилась при фиксированном влиянии на фактора (0,55 и 0,327);

т.е. при закреплении фактора на постоянном уровне влияние фактора на оказалось менее значительным (0,420 и 0,55).

Приведем частные коэффициенты корреляции второго порядка.

При фиксированном влиянии факторов и корреляция с оказалась еще меньше, чем при частной корреляции первого порядка (при закреплении фактора ): 0,69; 0,585 и 0,505.

Корреляция фактора с снизилась до 0,409 при элиминировании фактора и до 0,362 при элиминировании двух факторов - и .

.

Корреляция с снизилась с 0,55 в парной регрессии до 0,327 при закреплении на постоянном уровне фактора и до 0,261 при одновременном закреплении на постоянном уровне фактора и . Частная корреляция второго порядка зависимости с факторами , и оказалась значительно более низкой - 0,505; 0,362 и 0,261 против 0,69; 0,58 и 0,55 для парной регрессии.

Рассчитанные по рекуррентной формуле частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до +1, а по формулам через множественные коэффициенты детерминации – от 0 до 1. Сравнение их друг с другом позволяет ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом. Частные коэффициенты корреляции, подтверждая ранжировку факторов по их воздействию на результат, на основе стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от последних дают конкретную меру тесноты связи каждого фактора с результатом в чистом виде. Если из стандартизованного уравнения регрессии следует, что , т.е. по силе влияния на результат порядок факторов таков: , , , то этот же порядок факторов определяется и по соотношению частных коэффициентов корреляции .

Согласованность частной корреляции и стандартизованных коэффициентов регрессии наиболее отчетливо видна из сопоставления их формул при двухфакторном анализе. Для уравнения регрессии в стандартизованном масштабе -коэффициенты могут быть определены по формулам, вытекающим из решения системы нормальных уравнений:

(3.23)

Сравним с рекуррентными формулами расчета частных коэффициентов корреляции

, (3.24)

В двухфакторном анализе частные коэффициенты корреляции – это стандартизованные коэффициенты регрессии, умноженные на корень квадратный из соотношения долей остаточных дисперсий фиксируемого фактора на фактор и на результат.

В эконометрике частные коэффициенты корреляции обычно не имеют самостоятельного значения. В основном их используют на стадии формирования модели, а в частности в процедуре отсева факторов.

Из приведенных ранее формул частных коэффициентов корреляции видна связь этих показателей с совокупным коэффициентом корреляции. Зная частные коэффициенты корреляции, можно определить совокупный коэффициент корреляции по формуле

(3.25)

При полной зависимости результативного признака от исследуемых факторов коэффициент совокупного их влияния равен единице. Из единицы вычитается доля остаточной вариации результативного признака (), обусловленная последовательно включенными в анализ факторами. В результате подкоренное выражение характеризует совокупное действие всех исследуемых факторов.

В рассмотренном примере с тремя факторами величина коэффициента множественной корреляции составила:

.

Величина множественного коэффициента корреляции всегда большего (или равна) максимального частного коэффициента корреляции, что имеет место в нашем примере: 0,770 по сравнению с 0,505.

Поиск по сайту: