Замечание. Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Необходимое условие экстремума.

Если непрерывная функция имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Необходимое условие экстремум не является достаточным, т.е. точки, в которых или же не существует, не обязательно являются точками экстремумов функции.

Точки, в которых необходимое условие экстремумов выполняется, называются критическими, или подозрительными на экстремум.

Критические точки входят в область определения функции вместе с некоторой своей окрестностью, в которой функция является непрерывной и дифференцируемой (за исключением, быть может, самой критической точки, где может не существовать). Критические точки, в которых , называются еще стационарными, в них возможен только гладкий экстремум функции . Критические точки, в которых не существуют, являются подозрительными на острый экстремум функции . Наличие или отсутствие экстремума функции в ее критической точке проверяется чаще всего по следующим двум признакам:

Первый достаточный признак экстремума.

Если при переходе через критическую точку х0 (слева направо) производная изменяет свой знак, то в точке х0 есть экстремум причем, это максимум, если знак меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х0 производная не изменяет свой знак, то в точке х0нет экстремума функции .

Второй достаточный признак экстремума.:Пусть х0 – стационарная точка Первый достаточный признак экстремума функции , т.е. и существует вторая производная , непрерывная в точке х0.

Если >0, то х0 – точка минимума функции ;

если <0, то х0 – точка максимума функции ;

если =0, то вопрос об экстремуме в точке х0 остается открытым.

41). Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.

Точка называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.

Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.

Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной.

Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.

42) Асимптота кривой – это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность

Если кривая, заданная уравнением , удаляется в бесконечность при приближении к конечной точке , то прямая называется вертикальной асимптотой этой кривой. Такими асимптотами являются прямая для гиперболы , каждая из прямых для функции (рис. 1).

Рис. 1

Помимо вертикальной асимптоты гипербола имеет еще и горизонтальную асимптоту , как и график функции , однако он, в отличие от гиперболы, пересекает свою горизонтальную асимптоту в бесконечном множестве точек (рис. 2).

Рис. 2

У кривой, носящей название «декартов лист» (рис. 3), уравнение которой , имеется наклонная асимптота, как и у кривой (рис. 4). Коэффициенты и в уравнении прямой , являющейся наклонной асимптотой кривой при стремлении к плюс или минус бесконечности, находятся как пределы:

, .

43) СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать четность и периодичность функции.

3. Исследовать точки разрыва, найти вертикальные асимптоты.

4. Найти наклонные асимптоты (если их существование возможно).

5. Найти точки пересечения графика с осями координат.

6. Найти . Определить точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти . Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости.

8. Построить график функции.

Поиск по сайту: