|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Замечание
Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой. Пусть a = a (х), a (х) ¹ 0 при х ¹ хо есть в бесконечно малой (или бесконечно большой) тогда бесконечно большая (бесконечно малая). В дальнейшем будем использовать символические записи для любого числа а>0: , , , , , . Рассмотрим свойства бесконечно малых функций. 1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых, определенная на общем множестве, есть величина бесконечно малая при х ® хо. 2) Произведение ограниченной при х ® хо функции на бесконечно малых есть функция бесконечно малая. 2") Произведение конечного числа бесконечно малого при х ® хо есть функция бесконечно малая. 3) [a(х) ]n - (n - целая положительная степень) a (х) - бесконечно малая тогда и [a (х) ]n - бесконечно малая. 4) Что касается отношения двух бесконечно малых , - может быть функция произвольного поведения. Но с помощью действия деления можно сравнить между собой бесконечно малые. Определение 4.6. a (х), b (х) бесконечно малые при х ® хо имеют одинаковый порядок, если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, т.е. =K¹ 0. Определение 4.7. Порядок бесконечно малой b (х) выше порядка бесконечно малой a(х), если отношение есть бесконечно малое при х ® хо, т.е. = 0. В этом случае пишут b(х) = 0 [a (х)] при х ® хо. Определение 4.8. Бесконечно малая b (х) имеет предел n относительно бесконечно малой a (х) при х ® хо, если = K ¹ 0. Докажем одно из свойств сформулированных в1.5.3., например, свойство 4. Если существуют конечные пределы и , тогда:
Доказательство: Пусть , Тогда имеем на основании 3.2. ¦(х) = A + a (х), g(х) = B + b(х), где a(х), b(х) - бесконечно малые при х ® хо Тогда ¦(х) × g(х) = A × B + g(х), где g(х) = A × b (х) + b × a) + a (х) × b(х) - есть бесконечно малая Þ g(х) ® 0 бесконечно малая на основании свойств бесконечно малой функции. Отсюда . Рассмотрим в качестве примера предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге. Теорема 4.3. Первый замечательный предел. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, . Доказательство: Пусть х > 0 и х ® 0, так что 0 < х < . Рис.4.4. В тригонометрическом круге R = 1 рассмотрим S DОАВ, S cек. ОАВ, SDОАВ SDОАВ = SDОАВ = Получаем т.е. Sin x < x < tg x разделим на Sin x > 0, получим 1 < или cos x < . Пусть теперь х ® 0 + 0, но т.к. 1 - cos x = 2 sin2 бесконечно малая по условию, то . Тогда функция заключена между двумя функциями, имеющими предел, равный 1. На основании свойства 1, получаем . Если х < 0; имеем , где - х > 0. Поэтому . З а м е ч а н и е. " х çsin x ç £ çx ç, причем равенство имеет место при х = 0. Теорема 4.3. Второй замечательный предел. (Число е ). Ранее было доказано, что последовательность имеет предел, заключенный между 2 и 3. Можно доказать, что функция у = , х Î (-¥, -1) È (0, +¥) при х ® ¥ стремится к е: е = . Пусть , тогда e = или , где е = 2,7182818284...
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |