Б) Если основной определитель системы равен нулю и хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, то система – несовместна

Рассмотрим случай 2 а, т.е. Δ = 0; Δ₁, Δ₂, …, Δ _n = 0.

Тогда исключают одно из уравнений данной системы (оно является следствием других уравнений системы). Затем выделяют основные переменные (базисные) и свободные переменные, которые могут принимать любые значения из множества действительных чисел.

Если какие-то векторы полученной системы будут линейно независимыми, значит они образуют базис, а следовательно переменные при этих векторах также будут базисными.

Набор переменных, входящих в базис, может быть разным, а количество базисных переменных в каждом наборе – одно и то же.

Иначе за базисные переменные можно принять такие переменные, при которых определитель, составленный из коэффициентов при данных переменных, отличен от нуля.

После того, как выбраны базисные переменные, их выражают в рассматриваемой системе через свободные переменные. Полученная при этом СЛУ и будет являться общим решением исходной системы.

Если свободным переменным придавать любые значения из множества действительных чисел, то будем получать частные решения исходной системы в виде векторов, и таких векторов будет бесконечное множество.

Базисным решением исходной таблицы будет являться вектор, у которого все свободные переменные равны нулю, а базисные переменные равны свободным членам системы общего решения.

Базисное решение называется допустимым, если все координаты вектора базисного решения не отрицательны.

Решение СЛУ методом последовательного исключения переменных.

Этот метод основан на применении элементарных преобразований над системой уравнений, которые преобразуют данную систему уравнений в эквивалентную ей.

Различают два метода исключения переменных: метод Гаусса и метод Жордана – Гаусса (метод полного исключения переменных). Это универсальные методы решения систем линейных уравнений, т.к. их можно применять для решения систем в случае когда m = n и m ≠ n.

Рассмотрим метод Жордана – Гаусса.

Этот метод состоит из нескольких шагов (итераций), которые позволяют за конечное число операций сделать вывод о существовании решения данной системы или о том, что решений нет.

На каждом шаге исключается одна из переменных, которая называется ведущей. Ведущая переменная остается в одном из уравнений, которое также называется ведущим (ключевым). Из оставшихся уравнений ведущая переменная исключается с помощью элементарных преобразований.

Процесс исключения переменных производится с помощью таблиц Гаусса. Таблицей Гаусса обычно называют расширенную матрицу данной системы вида:

На основании элементарных преобразований над строками расширенной матрицы системы m линейных уравнений с n неизвестными, сформируем правила исключения переменных:

Поиск по сайту: