 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Геометрические векторы
|
Читайте также: |
Геометрический вектор - это направленный отрезок в пространстве. Обозначается: 
, где A1 и A2 - начальная и конечная точки вектора. Абстрактное обозначение вектора: 
и т.д. Механический смысл вектора : это изображение результата перемещения частицы из точки A1 в точку A2. По определению два вектора считаются равными, если один получается из другого параллельным переносом (сдвигом).Таким образом, вектор можно перенести в любую точку. Векторы можно умножать на числа и складывать (какперемещения); эти действия называются линейными. Векторы (ненулевые), лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, пропорциональны друг другу (или коллинеарны). Нулевой вектор пропорционален любому вектору.
Прямоугольные системы координат O xyz в трехмерном пространствебывают левые (например, оси: O x вправо, O y вперед, O z вверх) и правые (например, оси:O x вперед, O y право, O z вверх). Правая система не совмещается с левой поворотами (системы как целого) в пространстве. Каждая точка M пространства имеет три координаты (числа), которые записываются в скобках после обозначения точки: M(x;y;z).Например, чтобы изобразить точку M(-2;3;4), следует из начала координат O переместиться на 2 единицы в направлении, противоположном оси O x, затем на 3 единицы в направлении оси O y и на 4 единицы вверх; в результате мы попадем в точку M. Соответственно, каждый геометрический вектор характеризуется тремя координатами x, y, z - числовыми проекциями вектора на координатные оси. Координаты записывают в скобках после обозначения вектора: 
(x; y; z).Зная координаты начальной и конечной точек A1(x 1; y 1; z 1) и A2(x 2; y 2; z 2) вектора , можно найти координаты x,y,z этоговектора:
x = x 2- x 1, y = y 2- y 1, z = z 2- z 1. (1) Ортами прямоугольной системы координат называются три вектора 
длины 1 вдоль координатных осей (ед. число - орт; слово ortho означает «прямой»). Орты образуют базис в трехмерном пространстве, так как любой вектор (x; y; z) однозначно разлагается по ортам:
= x× 
+ y × 
+ z × 
. (2)
Формула (2) устанавливает взаимно однозначное соответствие между геометрическими векторами и координатными векторами (x; y; z) из R3 .
Пример. (а) Координаты середины (центра масс, центра тяжести) K отрезка
равны полусуммам одноименных координат точек A1 и A2.
(б) В треугольнике A1A2A3 координаты точки пересечения медиан (центра масс, центра тяжести) K равны средним арифметическим значениям одноименных координат вершин.
(в) В треугольной пирамиде A1A2A3A4 координаты центра масс (центра тяжести) K равны средним арифметическим значениям одноименных координат вершин пирамиды.
· Пояснение. (а) Очевидно, 
= 1/2 × . Расписывая это равенство
в координатах, получим xK - x1 = 1/2×(x 2 – x 1), откуда x K= 1/2×(x 1 + x 2); аналогично находятся y K, z K. (б) Пусть A1B - медиана, x B = 1/2×(x 2+ x 3). Как известно, точка K
делит медиану A1B на отрезки в отношении 2:1 по длине (считая от вершины A1). Тогда = 2/3× 
. Расписывая это равенство в координатах, получим x K - x 1 =2/3×(x B- x 1), откуда x K= x 1+2/3× x B-2/3× x 1= x 1+ 2/3×1/2×(x 2+ x 3) - 2/3× x 1=(x 1+ x 2+ x 3)/3. Для y K и z K выражения аналогичны. (в) Пусть D - точка пересечения медиан треугольника A1A2A3, тогда x D=1/3×(x 1+ x 2+x3). Точка K находится на отрезке A4D и делит его на части в отношении 3:1 по длине (считая от вершины A4).Тогда 
=3/4× 
. Расписывая это равенство в координатах, получим x K- x 4= 3/4 × (x D- x 4), откуда x K= x 4 +3/4× 1/3 ×(x 1+ x 2+ x 3) - 3/4× x 4 = (x 1+ x 2+ x 3+ x 4) /4. ·
Поиск по сайту: