|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Скалярное произведение
Скалярное (т.е. числовое) произведение двух геометрических векторов и определяетсякакпроизведение длин этих векторов и косинуса угла между ними: = | | × | |×cos j, (3) где | | и | | - длины (модули, абсолютные величины) векторов, а j - угол между векторами. Скалярное произведение можно выразить через (числовую) проекцию Пр вектора на вектор : = | | × Пр . (4) В частности, длина вектора связана со скалярным произведением: = | | 2 . (5) Механическое истолкование скалярного произведения: - это работа, которую производит источник силы при перемещении предмета на вектор . (Например, источники силы трения производят отрицательную работу и, значит, приобретают энергию - нагреваются; в этом примере cos j < 0.) Свойства скалярного произведения: 1) = ; 2) ×(k ) = = k (k – число); 3) × ( + ) = + × . Свойства 2) и 3) получаются из формулы (4) и соответствующих свойств проекций. Они означают, что при скалярном умножении векторов скобки раскрываются, как при умножении чисел. Например, (2 -3 ) × = 2 × – 3 × . Из определения (3) легко вывести «таблицу» скалярного умножения ортов , , : × = × = × = 1, × = × = × = × = × = × = 0. Разлагая векторы и по ортам и используя «таблицу» скалярного умножения ортов, получаем. Правило. Имеет место алгебраическая формула для скалярного произведения векторов (x 1; y 1; z 1)и (x 2; y 2 ; z 2): × = x 1× x 2+ y 1× y 2 + z 1× z 2. (6) Примененияскалярного произведения в геометрии. 1) Длина вектора (x; y; z): ï ï = (x 2+ y 2 + z 2) 1 / 2 (7) (это - следствие формул (5) и (6)). 2)Расстояние между двумя точками A1 иA2: ï ï =((x 2- x 1)2+(y 2- y 1)2+(z 2- z 1)2)1/2. (8) 3)Косинус угла между двумя векторами и : cos j = × / ê ê× ê ê. (9) 4)Если два (ненулевых) вектора и перпендикулярны (ортогональны),то × = 0. И наоборот. (Слово orthogonal переводится как «прямоугольный»). Замечание. В задачах, в которых фигурируют только точки и векторы на координатной плоскости O xy, координата z (равная нулю) не пишется. В этой ситуации применяют формулы, аналогичные (6)-(9). Например, расстояние между двумя точками теперь вычисляется по формуле | A1A2 |= ï ï =((x 2 - x 1)2 + (y 2- y 1)2) 1/ 2. (10) Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |