АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Трансцендентные функции

Читайте также:
  1. Абстрактные классы и чистые виртуальные функции. Виртуальные деструкторы. Дружественные функции. Дружественные классы.
  2. Банки и их функции. Банковская система
  3. В условиях рынка прибыль субъектов торговли выполняет сле-дующие функции.
  4. Виды посредников и их функции. Критерии выбора посредников
  5. Вопрос. Оконные функции.
  6. Вопрос: Правовая культура: понятие, уровни, виды, функции.
  7. Встраиваемые функции.
  8. Встроенные функции. Мастер функций
  9. Выпуклость графика функции. Точки перегиба графика
  10. Государство: сущность и функции. Государство и гражданское общество
  11. Деньги и их функции. Эволюция денежного обращения. Типы денежных систем. Денежные агрегаты (М1,М2,М3).
  12. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

Элементарные функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными элементарными функциями.

Функции вида:

- показательная;

- логарифмическая;

- тригонометрические;

- обратные тригонометрические).

 

 

3. Числовая последовательность

Числовая последовательностьфункция вида а= f(x), x Î N,где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается а = f(n)или а1, а2,…, аn,…. Значения а1, а2, а3,…называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например: an = n2

a1 = 12 = 1;

a2 = 22 = 4;

a3 = 32 = 9;…an = n2

Способы задания последовательностей.Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:

an = f(n).

Пример 3.1. an = 2n – 1 последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательныйспособ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 3.2. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 3.3. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. В таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие.

Пример 3.4. a1 = 3; an = an–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь a1 = 3; a2 = 3 + 4 = 7; a3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность можно задать аналитически: an = 4n – 1.

Свойства числовых последовательностей.Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение.Последовательность {an}называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:



a1 < a2 < a3 < …< an < an+1 < ….

Определение.Последовательность {an}называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

a1 > a2 > a3 > … > an > an+1 > ….

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Определение.Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T,что начиная с некоторого n, выполняется равенство an = an+T . Число T называется длиной периода.

Пример 3.6.Последовательность периодична с длиной периода T = 2.

Арифметическая прогрессия.Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметическойпрогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

(a и d – заданные числа).

Пример 3.7. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a1 = 1, d = 2.

Пример 3.8. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a1 = 20, d = –3.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение an через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет навеличину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

an = a1 + d(n – 1).

Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Геометрическая прогрессия.Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

‡агрузка...

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ¹ 0, q ¹ 0).

Пример 3.9. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 3.10. 2, –2, 2, –2, … геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3.11. 8, 8, 8, 8, … геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b1 > 0, q > 1, и убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1.

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b12, b22, b32, …, bn2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b12, а знаменатель – q2.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

bn = b1qn–1.

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

.

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда a ¹1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае Sn = a1n.

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.Пусть есть последовательность {cn} = {1/n}.Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число , или . С ростом n все члены геометрической прогрессии убывают и их значение приближается к нулю. В этом случае принято говорить, что при n, стремящемся к бесконечности, данная последовательность сходитсяи нуль есть ее предел. Записывается это так:

.

Строгое определение предела формулируется следующим образом:

Если существует такое число A, что для любого (сколь угодно малого) положительного числа e найдется такое натуральное N (вообще говоря, зависящее от e), что для всех n ³ N будет выполнено неравенство |an – A| <e, то говорят, что последовательность{an}сходится и A – ее предел.

Обозначается это так: .

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {cn} = {1/n}. Пусть e – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

.

Существует ли такое N, что для всех n ³ N выполняется неравенство 1/N < e ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее1e/, то для всех n ³ N выполняется неравенство 1/n £ 1/N < e,что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 3.1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 3.2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3.3. Если последовательность {an}имеет предел A, то последовательности {can}, {an + с}и {| an|}имеют пределы cA, A + c, |A| соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 3.4. Если последовательности {an}и {bn} имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {pan + qbn} имеет предел pA + qB.

Теорема 3.5. Если последовательности {an} и {bn}имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {anbn} имеет предел AB.

Теорема 3.6. Если последовательности {an}и {bn} имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, bn ¹ 0 и B ¹ 0, то последовательность {an / bn} имеет предел A/B.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)