 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Например, уравнение
определяет сферу радиуса R с центром в начале координат.
При помощи поворотов и параллельного переноса осей координат всякое уравнение вида (25) может быть преобразовано к каноническому виду. Рассмотрим далее основные канонические уравнения, соответствующие типы поверхностей второго порядка и их наиболее важные свойства.
4.1.
|
|
. (26)
|
|
Уравнение (26) называется канони-ческим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c - полуоси эллипсоида (рис. 10). Сечением эллипсоида любой плоскостью, параллельной координатным плоскостям, является эллипс (в частном случае окружность).
Координаты точек эллипсоида удовлетворяют неравенствам - a £ x £ a, - b £ y £ b, - c £ z £ c.
В частном случае, при a=b, эллипсоид является поверхностью вращения, получающейся при вращении вокруг оси Oz эллипса 
, лежащего в плоскости xOz. При a = b = с эллипсоид представляет собой сферу.
4. 2. Гиперболоиды.
Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяются каноническими уравнениями
, (27)
. (28)
 | |||
 | |||
|
|
|
 |  | ||||
 | |||||
|
|
|
|
|
Рис. 11 Рис. 12
Гиперболоид, определяемый уравнением (27), называется однополостным (рис. 11); гиперболоид, определяемый уравнением (28), называется двуполостным (рис. 12). Для обоих видов гиперболоидов сечения, параллельные оси Oz - гиперболы (для однополостного гиперболоида в сечении может быть пара пересекающихся прямых); сечения, параллельные плоскости xOy - эллипсы.
Величины a, b, с называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (27), только первые из них (a и b) показаны на рис. 11. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (28), одна из них (именно с) показана на рис. 12.
Замечание. При a=b гиперболоиды являются поверхностями вращения.
4.3. Параболоиды.
Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяются каноническими уравнениями
, (29)
, (30)
где p и q - положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (29), называется эллиптическим (рис. 13). Сечения эллиптического параболоида, параллельные оси Oz - параболы; сечения, параллельные плоскости xOy - эллипсы. Параболоид, определяемый уравнением (30), называется гиперболическим (рис. 14). Сечения гиперболического параболоида, параллельные плоскостям yOz и xOz - параболы; сечения, параллельные плоскости xOy - гиперболы.
Замечание. В случае, когда p = q, эллиптический параболоид (29) является поверхностью вращения (вокруг оси Oz).
 | |||
 | |||
|
|
|
Рис. 13 Рис. 14
|
|
Конус, определяемый уравнением 
, имеет вершину в начале координат (рис. 15).
|
|
|
Поверхность конуса состоит из прямолинейных образующих, проходящих через его вершину и через точки эллипса с полуосями a и b, плоскость которого перпендикулярна оси Oz и находится на расстоянии с от начала координат.
|
4.5.Цилиндры.
Поверхности цилиндров состоят из прямых линий (образующих), параллельных оси Oz. Сечениями (перпендикулярными оси Oz) эллипти-ческого цилиндра (его уравнение 
), гиперболического цилиндра (его уравнение 
) и параболического цилиндра (его уравнение 
) соответственно являются эллипсы, гиперболы и параболы.
Пример 20. Определить вид поверхности
,
используя метод сечения плоскостями.
Решение. Уравнение поверхности не содержит членов с произведением координат, следовательно плоскости симметрий параллельны координатным плоскостям.
Пересекая поверхность плоскостями 
параллельными плоскости xOy, получим:
.
Так как 
для любого с, полученная кривая является гиперболой с действительной осью, параллельной оси Ox.
Пересекая поверхность плоскостями 
аналогично получаем уравнение
гиперболы с действительной осью, параллельной оси Ox.
При пересечении данной поверхности плоскостями 
, параллельными координатной плоскости yOz, получаем:
.
Последнее уравнение при 
,т.е. при 
и 
, есть уравнение эллипса.
Таким образом сечениями поверхности плоскостями являются эллипсы и гиперболы, действительные оси которых параллельны. Следовательно, исследуемая поверхность - двуполостный гиперболоид. Его уравнение можно преобразовать к каноническому виду:
.
Поиск по сайту: