Краткие теоретические сведения. Твердым телом называется система материальных точек, расстояние между которыми не меняется при движении

Твердым телом называется система материальных точек, расстояние между которыми не меняется при движении.

При вращательном движении твердого тела все точки тела совершают движение по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Угловая скорость w равна производной углового перемещения (угла поворота) d по времени dt

w = dj/dt. (1)

Угловая скорость одинакова для всех точек твердого тела. Линейная скорость v зависит от положения точки относительно оси вращения

v = w r, (2)

где r – радиус-вектор точки, проведенный от центра вращения или перпендикулярно оси вращения.

Угловое ускорение e определяет скорость изменения угловой скорости

e = dw/dt. (3)

Уравнение кинематики вращательного движения при равноускоренном движении:

w = w₀ + et; (4)

j = j₀+ w₀ t + et²/2. (5)

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора r приложения силы на вектор силы F

M = r F. (6)

Моментом силы относительно оси z называют проекцию момента силы любой точки, лежащей на оси, на ось z:

M_z = (r F)_z, (7)

или

M_z = x F_y - y F_x, (8)

где F_x, F_y – проекции силы F на оси; x, y – координаты точек приложения силы.

Моментом инерции i-того элемента массы m относительно оси вращения называют

J_i = r²_i m_i, (9)

где r₁ – расстояние между осью и i-тым элементом массы.

Момент инерции тела, содержащего n таких элементов, определяется их суммой

_{n n}

J = åJ_i = å(r₁² Dm₁). (10)

^{i=1 i=1}

Момент инерции тела с непрерывным распределением массы находится путем интегрирования

J = r² dm = r² rdV. (11)

Моментом импульса элемента массы m относительно точки называют

L = r mv. (12)

Моментом импульса тела относительно точки называют сумму моментов импульса элементов массы. Моментом импульса относительно оси z называют проекцию момента импульса на эту ось.

В случае вращения вокруг оси z момент импульса равен

L_z = J w, (13)

где J и w – соответственно момент инерции и угловая скорость вращения относительно оси z.

Динамика вращательного движения твердого тела описывается уравнением

M = dL/dt. (14)

В случае вращения тела вокруг неподвижной оси основной закон вращательного движения имеет вид

M = J e. (15)

Уравнение (15) аналогично второму закону Нютона (F=ma) для поступательного движения. Следовательно, момент инерции играет такую же роль, как масса в динамике поступательного движения. Момент инерции является мерой инертности тела по отношению к вращательному движению.

Кинетическая энергия тела, вращающегося с угловой скоростью w, равна

E_k = J w²/2. (16)

Поиск по сайту: