Сведения из теории вероятностей о характере распределения измеряемых величин

Вероятностькакого-либо события приблизительно равна частоте f (x) появления его и может быть рассчитана по зависимости:

,

где m – количество появлений наблюдаемого события; п – число проведенных опытов.

Например, если из 100 выстрелов в цель попало 37 пуль, то
f(x) = = 0,37.

Количество опытов п (в приведенном примере – количество выполненных выстрелов), при которых наблюдают событие m (попадание пули в мишень), должно быть достаточно большим. Только в этом случае можно будет судить о стабильности свойств этого и любого другого изучаемого явления, носящего вероятностный характер.

На основании этого допущения предполагают, что и при выполнении одного единственного выстрела численное значение f (x) = 0,37 сохранится.

Рассмотрим случай нескольких измерений n какой-либо физической величины Х, например, массы. При этом окажется, что ряд результатов совпадут друг с другом или будут очень близкими.

Если величину частоты f (x) появления некоторой величины Х обозначить отрезком по оси ординат, то график можно представить следующим образом (рис. 1), где – центр распределения.

Рис. 1. Распределение частоты f (x) появления отдельных событий Х _i

При большом числе наблюдений () весь диапазон значений Х можно разбить на бесконечно малые интервалы dx и тогда данные рис. 1 предстанут в виде некоторой плавной кривой (рис. 2). Ее называют плотностью вероятности или нормальным законом распределения (распределение Гаусса) некоторой случайной величины Х.

Рис. 2. Распределение нормальное случайной величины Х

Разницу предельных значений называют размахом результатов измерений. Рассеяние обусловлено обычно проявлением случайных причин при измерении и носит вероятностный характер.

Разницу значений отклонений от среднего и , называют рассеянием случайной величины Х. Для характеристики рассеяния служит основное отклонение, обозначаемое буквой и рассчитываемое по уравнению:

Из него видно, чем больше число измерений n, тем рассеяние меньше, и, следовательно, результат более точный.

Аналитически нормальное распределение описывают зависимостью:

Графическая интерпретация сущности этой зависимости представлена на рис. 3. Площадь под нормальной кривой, заключенная внутри промежутка от среднего значения до соответствующего количества основного отклонения ( , 2 , 3 , 4 ), численно равна вероятности Р того факта, что действительное значение отклонения от среднего значения будет содержаться внутри указанных интервалов.

Рис. 3. Вероятность попадания измерений в заданный доверительный интервал

Теория вероятностей и накопленный опыт измерений показывают, что максимальные значения разницы и численно не превышают четырех основных отклонений 4 .

В этом случае численное значение вероятности Р тогофакта, что случайная величина Х будет находиться в заданном интервале, равно:

Принято вероятность Р называть доверительной вероятностью, что означает гарантию попадания отдельного результата измерения в заданный интервал.

Из приведенных формул видно, что значения случайной величины , отклоняющиеся в обе стороны от среднего значения не более, чем на величину основного отклонения , могут встретиться в 683 случаях на 1000 измерений. Аналогично для 2 – это составит 954 случая, для 3 – 997 случаев.

Эти данные показывают, что хотя значения случайной величины могут изменяться неограниченно, в действительности (рис. 2.3) они укладываются в утроенное значение основного отклонения ( 3 ).

Выполнение большого количества измерений связано со значительными трудозатратами и поэтому неэкономично. В связи с этим интерес представляет получение достаточно достоверных, гарантированных с заданной доверительной вероятностью Р, иточных результатов при минимуме экспериментального материала.

Эту задачу решают на основе распределения Стьюдента. Сущность его состоит в том, что при переходе от к достаточно малому их числу n = 2, …, 10, доля больших погрешностей возрастает, а доля малых уменьшается.

Последнее обстоятельство хорошо видно из сравнения распределений Гаусса и Стьюдента, представленных на рис. 4.

В силу отмеченных обстоятельств на практике используют распределение Стьюдента. Хотя сразу же необходимо заметить, что при 20-25 измерениях это распределение дает почти такие же результаты, что и нормальное распределение (распределение Гаусса).

Рис. 4. Графическая интерпретация распределений Гаусса и Стьюдента

В этом случае (как компенсацию меньшего числа проведенных опытов) вместо основного отклонения для его оценки применяют величину средней квадратической погрешности результата измерения среднего арифметического значения (ранее ее называли стандартным отклонением):

В отличие от нормального распределения, где величину отклонения принимают кратной целому числу ( , 2 , 3 , 4 ), в распределении Стьюдента вместо этих чисел применяют коэффициент . Иногда его называют коэффициентом (статистикой) Стьюдента.

Нижние индексы у символа коэффициента означают, что его значение зависит от величины требуемой доверительной вероятности результатов измерения Р и количества выполняемых опытов n.

Численные значения принимают из специальных таблиц
(приложение 3) в зависимости от принятых значений Р и n.

Величину доверительной вероятности принимают не менее 0,95 (ибо всякое событие, вероятность которого менее этой величины, считают мало достоверным). С другой стороны, большее ее значение (Р= 0,99; 0,999 и т. д.) должно быть заранее обосновано, исходя из важности социальной или экономической значимости выполняемых измерений.

Некоторое представление об этой операции можно получить из следующей таблицы:

Значения коэффициента Стьюдента

Тогда доверительный интервал, соответствующий принятой величине доверительной вероятности, будет равен:

Таким образом, коэффициент Стьюдента увеличивает величину случайной ошибки, возникающей за счет уменьшения числа измерений.

В этом случае считают, что истинное значение измеряемой величины (без учета систематической погрешности технического средства измерения) будет находиться в интервале:

С учетом систематической погрешности технического средства измерения результат измерения будет следующим:

Поиск по сайту: