АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные однородные дифференциальные уравнения с

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  3. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  4. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  5. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  6. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  7. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  8. V2: Применения уравнения Шредингера
  9. V2: Уравнения Максвелла
  10. VI Дифференциальные уравнения
  11. Абстрактные линейные системы
  12. Алгебраические уравнения

произвольными коэффициентами.

 

Рассмотрим уравнение вида

 

Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

 

1)

2)

 

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

 

1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением.

2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.

 

Структура общего решения.

 

Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

 

Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

(Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)

 

Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

 

Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

 

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был равен нулю.

Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

,

где Ci – постоянные коэффициенты.

 

Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)