Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

.

Такое уравнение можно представить также в виде:

Перейдем к новым обозначениям

Получаем:

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):

- это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

- верно

Пример. Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2) = 1.

при у(2) = 1 получаем

Итого: или - частное решение;

Проверка: , итого

- верно.

Пример. Решить уравнение

- общий интеграл

- общее решение

Пример. Решить уравнение

Пример. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям.).

Если у(1) = 0, то

Итого, частный интеграл: .

Пример. Решить уравнение .

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:

Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

Пример. Решить уравнение .

; ;

Допустим, заданы некоторые начальные условия х₀ и у₀. Тогда:

Получаем частное решение

Однородные уравнения.

Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Пример. Является ли однородной функция

Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.

Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, .

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Введем вспомогательную функцию u.

.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

Уравнения, приводящиеся к однородным.

Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.

Это уравнения вида .

Если определитель то переменные могут быть разделены подстановкой

где a и b - решения системы уравнений

Пример. Решить уравнение

Получаем

Находим значение определителя .

Решаем систему уравнений

Применяем подстановку в исходное уравнение:

Заменяем переменную при подстановке в выражение, записанное выше, имеем:

Разделяем переменные:

Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.

Итого, выражение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

В случае если в исходном уравнении вида определитель то переменные могут быть разделены подстановкой

Пример. Решить уравнение

Получаем

Находим значение определителя

Применяем подстановку

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.

таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Линейные уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции y(x) и ее производной y’(x), если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) тождественно равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если же правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

Обычно предполагается что P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются, в основном, два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли.

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .

Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

Т.к. первоначальная функция была представлена в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным.

Одна из составляющих произведение функций выбирается так, что

.

Находим u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение:

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Интегрируя, найдем функцию v:

; ;

Следовательно,

Окончательно получаем формулу:

,

С₂ - произвольный коэффициент.

Это соотношение является решением неоднородного линейного дифференциального уравнения методом Бернулли.

Метод Лагранжа.

(Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик, през. Берлинской АН,

поч. чл. Пет. АН (1776)).

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений называют методом вариации произвольной постоянной.

Первый шаг данного метода состоит в замене ее нулем правой части уравнения

т.е.

Далее находится решение, получившегося однородного дифференциального уравнения:

. (*)

Для того, чтобы найти решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С₁ некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение:

Из этого уравнения определим переменную функцию С₁(х):

Интегрируя, получаем:

Подставляя это значение в (*), получаем:

,

формула совпадает с результатом расчета по методу Бернулли.

При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.

Пример. Решить уравнение

Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:

Применим полученную выше формулу:

Уравнение Бернулли.

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

Для этого разделим исходное уравнение на yⁿ.

Применим подстановку, учтя, что .

Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

Пример. Решить уравнение

Разделим уравнение на xy²:

Полагаем

.

Полагаем

Произведя обратную подстановку, получаем:

Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде:

Таким образом, для решения надо определить:

1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;

2) как найти эту функцию.

Если дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:

Т.е. .

Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.

Проинтегрируем равенство :

Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.

Определим функцию С(у).

Продифференцируем полученное равенство по у.

Откуда получаем:

Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.

Теперь определяем функцию С(у):

Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.

Пример. Решить уравнение

Проверим условие тотальности:

Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Определим функцию u.

;

Итого,

Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).

Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.

Для уравнения первого типа получаем:

Делая замену, получаем:

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

Уравнения Лагранжа и Клеро.

(Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик

ин. поч. член Петерб. АН)

Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y’.

Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.

Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что , получаем:

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:

Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.

С учетом замены , уравнение принимает вид:

Это уравнение имеет два возможных решения:

или

В первом случае:

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.

Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:

Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.

Это решение будет являться особым интегралом. (См. Особое решение.)

Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

Дифференцируя, получаем:

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

Итого, общее решение:

C учетом начального условия определяем постоянный коэффициент C.

Окончательно получаем:

Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: верно

Ниже показан график интегральной кривой уравнения.

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл имеет вид:

Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.

С = - 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2

С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2

Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение имеет вид:

Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.

Окончательно получаем:

Пример. Решить предыдущий пример другим способом.

Действительно, уравнение может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Тогда

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Итого

С учетом начального условия у(0) = 0 получаем

Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.

Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

Итого

Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.

(верно)

Найдем частное решение при у(0) = 0.

Окончательно

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

с начальным условием у(1) = 1.

Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.

С учетом начального условия:

Окончательно

Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставим в исходное уравнение:

Общее решение будет иметь вид:

C учетом начального условия у(1) = 0:

Частное решение:

Пример. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием у(1) = е.

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим:

Уравнение принимает вид:

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Сделаем обратную замену:

Общее решение:

C учетом начального условия у(1) = е:

Частное решение:

Второй способ решения.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:

Решение исходного уравнения ищем в виде:

Тогда

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

Получаем общее решение:

Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.

В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

Уравнение принимает вид:

Делаем обратную подстановку:

Общее решение:

C учетом начального условия у(1) = 0:

Частное решение:

Второй способ решения.

Замена переменной:

Общее решение:

Поиск по сайту: