Задача 17. Решение. Воспользуемся заменой переменной, получим

1) Найти

Решение. Воспользуемся заменой переменной, получим

.

2) Найти .

Решение. Применим метод интегрирования по частям

.

3) Найти

Решение. Применим метод интегрирования по частям дважды

.

4) Найти

Решение. Разложим знаменатель подынтегральной рациональной функции на множители: Правильная дробь разлагается в сумму простейших дробей: Воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов, найдем коэффициенты A, В, C. Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители: Подставляем корни знаменателя:

Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид:

В результате получаем:

.

5)Найти

Решение. Разложим знаменатель на множители

.

Подынтегральная функция разложится на сумму простейших дробей:

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители: Подставляем корни знаменателя:

Для нахождения B, приравниваем коэффициенты при , получаем 1= A + B, откуда . Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид

В результате получаем:

.

6)Найти

Решение. Рациональная дробь – правильная и ее разложение на простейшие дроби имеет вид: Сравнивая числители дробей в обеих частях равенства, получим Имеется только один действительный корень , этого достаточно для нахождения только одного коэффициента А:

Для нахождения остальных коэффициентов раскроем скобки в правой части равенства и запишем ее в виде многочлена четвертой степени:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x левой и правой частях, получим систему уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов

Отсюда находим Искомое разложение имеет вид

Следовательно

Второй и третий интеграл справа находим одинаковой заменой и окончательно получаем

7) Найти

Решение. Подынтегральная функция рационально зависит от и ; применим подстановку , тогда

, ,

и

Возвратившись к старой переменной, получим

8)Найти

Решение. Выполним замену переменной Числитель подынтегрального выражения можно представить следующим образом:

Поэтому имеем

Возвращаясь к переменной , получим

Решение. Воспользуемся формулой , где – функция, график которой ограничивает фигуру сверху, а – снизу (на отрезке ).

.

Задача 19. Вычислить длину дуги цепной линии от до .

Решение. Длину дуги вычислим по формуле .

Найдем : или . Тогда

Задача 20. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + 2y = x² и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при .

Решение. Полагаем y = u (x) v(x), находим y’ = u’v + uv’. Подставим вместо y и y’ соответствующие выражения в исходное уравнение:

x (u’v + uv’) + 2uv = x², или xu’v + u (xv’ + 2v) = x². (*)

Подберем v = v (x) так, чтобы xv’ + 2v = 0, или , откуда интегрируя, имеем или

Уравнение (*) примет вид:

u’v = x, или u’ = x, отсюда u’ = x³, du = x³ dx, u =

у = u (x) v (x) = или - общее решение.

Найдем частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию при : , откуда . Таким образом, - частное решение.

Задача 21. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку это уравнение однородное то применим подстановку , тогда . После подстановки в уравнение получим . Разделим переменные: . Интегрируя левую часть равенства по u, а правую – по x, получим:

Вернемся к прежней переменной:

. Общий интеграл: .

Задача 22. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения

. Составим характеристическое уравнение: . Его корни действительные различные, поэтому .

Т.к. правая часть неоднородного уравнения и не корень характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде: .

Находим . Подставляя в неоднородное уравнение, получим .

Итак, .

Общее решение линейного неоднородного уравнения , поэтому общее решение .

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Т.к. , то имеем систему уравнений для нахождения постоянных и :

.

Итак, искомое частное решение: .

Задача 23. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого составим характеристическое уравнение . Его корни комплексные, поэтому .

Т.к. правая часть неоднородного уравнения и - не корень характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Находим

.

Подставляем в неоднородное уравнение, получим

.

Итак, .

Общее решение линейного неоднородного уравнения , поэтому общее решение .

Найдем частное решение, удовлетворяющее условиям .

Т.к. , то имеем систему уравнений для нахождения постоянных

.

Итак, искомое частное решение: .

Задача 24. Исследовать сходимость числового ряда

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:

, поэтому ряд сходится.

Задача 25. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Имеем . Находим радиус сходимости

, (-10, 10) – интервал сходимости.

Исследуем на сходимость степенной ряд на концах интервала сходимости:

а) при получаем числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница.

б) при x=10 получаем расходящийся гармонический ряд .

Итак, [-10, 10) - область сходимости.

Задача 26. Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

Решение.

Интервал сходимости этого степенного ряда с центром в нуле имеет вид <-R;R>. Радиус сходимости R найдем по формуле , где – коэффициенты степенного ряда.

Имеем , поэтому =
. Итак, <-5;5> – интервал сходимости.

При имеем ряд , который расходится ( сходится при и расходится при ).

При получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница (знакочередующийся ряд, модули членов которого убывают и стремятся к нулю). Итак, [-5;5) – область сходимости данного ряда.

Задача 27. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подинтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

Решение. Заменив на в разложении

,

получим .

Умножая полученный ряд на

и почленно интегрируя по отрезку , принадлежащему интервалу сходимости ряда , получим

Взяв первые шесть членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность , не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.

.

Итак,

.

Задача 28. Выразить определенный интеграл в виде сходящегося ряда, используя ряд Маклорена для подинтегральной функции. Найти приближенное значение этого интеграла с точностью до 0,001.

Решение. Заменив на в разложении получим .

Умножая полученный ряд на

и почленно интегрируя по отрезку , принадлежащему интервалу сходимости ряда , получим

Взяв первые четыре члена разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность , не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.

.

Итак, .

Задача 29. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания первым стрелком равна 0.8, вторым – 0.9. Найти вероятность того, что при залпе по мишени попадет только один стрелок.

Решение. Пусть событие А₁ – первый стрелок попал по мишени, А₂ – второй стрелок попал по мишени, В – при залпе по мишени попал только один стрелок. Событие В словами можно описать следующим образом: при залпе по мишени (первый стрелок попал, а второй промахнулся) или (второй стрелок попал, а первый промахнулся). Событие означает, что при залпе по мишени промахнулся первый стрелок, – промахнулся второй. Произведение событий означает, что при залпе по мишени первый стрелок промахнулся, а второй при этом попал по мишени, – первый попал и второй промахнулся. Тогда . События и несовместные, следовательно (события А₁ и А₂ независимые, следовательно, события и так же независимые) =(по теореме о вероятности произведения независимых событий) = = ( ) =

Задача 30. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение. Найдем плотность распределения вероятностей случайной величины X:

.

Математическое ожидание случайной величины X:

.

Дисперсия случайной величины X:

.

Задача 31. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью , зная выборочную среднюю , объем выборки и среднее квадратическое отклонение .

Решение. Справедливо равенство: , т.е. с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр ; точность оценки .. Найдем . Из соотношения получим . По таблице значений функции находим .

Найдем точность оценки . Доверительный интервал таков: . При доверительный интервал имеет следующие доверительные границы: ;

.

Таким образом, значения неизвестного математического ожидания нормального распределения, согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству .

Задача 32. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

Решение. Обозначим через А событие – из третьей урны извлечен белый шар.

	6 - Ч 4 - Б		6 - Ч 4 - Б		6 - Ч 4 - Б

Б

Рассмотрим все возможные случаи извлечения шаров из урн: БББ, ББЧ, БЧБ, БЧЧ, ЧБЧ, ЧББ, ЧЧБ, ЧЧЧ. Из восьми возможных случаев, только четыре удовлетворяют условию, что из третьей урны извлечен белый шар. Введем обозначения

- из 1-ой урны извлечен белый шар;

- из 1-ой урны извлечен черный шар;

- из 2-ой урны извлечен белый шар;

- из 2-ой урны извлечен черный шар.

Поскольку в первой урне содержится всего 10 шаров, причем 4 из них белых, то вероятность события . Соответственно вероятность того, что из первой урны будет извлечен черный шар равна: Условная вероятность того, что из 2-ой урны будет извлечен белый шар, при условии, что из 1-ой урны был извлечен белый шар равна Условная вероятность того, что из 2-ой урны будет извлечен белый шар, при условии, что из 1-ой урны был извлечен черный шар равна: Вычислим условную вероятность события при условиях и : и

Вероятность того, что из 3-ой урны будет извлечен белый шар, при условии, что и из 1-ой и из 2-ой урн были извлечены белые шары равна: Вероятность события , при условиях , равна: Условная вероятность , с учетом того, что из 1-ой урны извлечен черный шар, а из 2-ой урны извлечен белый шар равна:

Вероятность события , при условиях , равна: Искомую вероятность того, что из третьей урны будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

Задача 33. Имеется три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 16, 6. Из наудачу взятой партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Затем из той же партии вторично наудачу извлекли деталь, также оказавшуюся стандартной. И, наконец, из той же партии в третий раз наудачу извлекли деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из второй партии.

Решение. Обозначим через А событие – в каждом из трех испытаний была извлечена стандартная деталь. Можно сделать три предположения (гипотезы): - детали извлекались из первой партии, - детали извлекались из второй партии, - детали извлекались из третьей партии.

Детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы:

Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены три стандартные детали. Это событие достоверно, так как в первой партии все детали стандартны, поэтому

Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (без возращения) три стандартные детали:

Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что из третьей партии будут последовательно извлечены (без возращения) три стандартные детали:

Искомая вероятность того, что три извлеченные стандартные детали взяты из второй партии, по формуле Бейеса равна

Задача 34. Случайная величина X задана функцией распределения F(x):

Требуется:

а) найти плотность распределения вероятностей;

б) построить графики интегральной и дифференциальной функций;

в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;

г) определить вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале

Решение. а) Плотность распределения вероятностей равна первой производной от функции распределения:

б) Построим графики интегральной и дифференциальной функций:

в) Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Поскольку случайная величина X задана плотностью распределения в интервале , а вне этого интервала то воспользуемся следующей формулой

Подставив получим

Дисперсию случайной величины найдем по следующей формуле:

Подставляем известные нам данные и получаем

г) Определим вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу , определяется равенством

Таким образом

Задача 35. Дано статистическое распределение выборки

		14,5		19,5		24,5

Требуется:

1. Найти методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.

2. Построить нормальную кривую.

3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X), полагая, что X имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение и доверительная вероятность .

Решение. 1. Составим расчетную табл. 1. Для этого:

· запишем варианты в первый столбец;

· запишем частоты во второй столбец; сумму частот (200) по­местим в нижнюю клетку столбца;

· в качестве ложного нуля С выберем варианту (19,5), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем -1, -2, -3, а под нулем 1, 2, 3;

· произведения частот на условные варианты запишем в четвертый столбец; сложив эти числа, их сумму (45) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца;

· произведения частот на квадраты условных вариант, т. е. запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой строки третьего и четвертого столбцов: ∙ = ); сумму чисел столбца (351) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца;

· Для заполнения столбца 6 удобно перемножить числа каждой строки третьего и пятого столбцов.

· Для заполнения столбца 7 удобно перемножить числа каждой строки третьего и шестого столбцов.

· Произведения запишем в восьмой контрольный столбец; сумму чисел столбца (4757) помещаем в нижнюю клетку восьмого столбца. Столбец 8 служит для контроля вычислений с помощью тождества

∑ = ∑ +4 ∑ +6 ∑ +4 ∑ + .

В итоге получим расчетную табл. 1.

Таблица 1

		-3	-12		-108
14,5		-2	-34		-136
		-1	-33		-33
19,5
24,5
∑

Контроль: ∑ =4757,

∑ +4 ∑ +6 ∑ +4 ∑ + =1635+4∙159+6∙351+4∙45+200=4757.

Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.

Вычислим условные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

= = =0,225; = = =1,755;

= = =0,795; = = =8,175.

Найдем шаг (разность между любыми двумя соседними вариантами):

h = 14,5-12 = 2,5.

Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию, учитывая что ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту) С = 19,5:

.

.

Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

,

Найдем асимметрию и эксцесс:

;

.

2. Для построения нормальной кривой найдем ординаты (выравнивающие частоты) теоретической кривой по формуле , где - сумма наблюдаемых частот (объем выборки), - разность между двумя соседними вариантами, и . Затем строим точки в прямоугольной системе координат и соединяем их плавной кривой. Все вычисления запишем в табл. 2.

Таблица 2

		-8,0625	-2,470	0,019
14,5		-5,5625	-1,704	0,094
		-3,0625	-0,938	0,257
19,5		-0,5625	-0,172	0,3932
		1,9375	0,594	0,3352
24,5		4,4375	1,360	0,1582
		6,9375	2,126	0,042

3. Требуется найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X):

.

Все величины, кроме , известны. Найдем из соотношения

. По таблице значений функции находим . Подставляя =20,0625, =3,264, =200, вычислим =19,61, =20,51. Окончательно получим искомый доверительный интервал 19,61< <20,51.

Задача 36. Найти: 1) выборочное уравнение прямой регрессии на ; 2) выборочное уравнение прямой регрессии на .

Построить диаграмму рассеивания и графики уравнений регрессии по данной корреляционной таблице:

Решение. Выберем “ложные” нули: . Запишем таблицу в условных вариантах.

Поиск по сайту: