Теоретичні відомості. Практичне заняття 1. Векторний простір

Практичне заняття 1. Векторний простір. Базис і розмірність векторного простору

Теоретичні відомості

Нехай P – деяке поле, елементи якого будемо називати скалярами, V – непорожня множина.

Означення 1. Векторним простором над полем Р називається множина V, що містить елемент 0, на якій задана бінарна алгебраїчна операція додавання і для кожного P означена операція w_l: V®V, що зіставляє елементу a V елемент a V, причому виконуються такі властивості (аксіоми векторного простору):

v₁: (a+(b+c)=(a+b)+c) – операція додавання асоціативна;

v₂: (a+b=b+a) – операція додавання комутативна;

v₃: – існує нульовий елемент відносно додавання;

v₄: – для кожного елемента множини V існує протилежний елемент;

v₅: – операція множення на скаляри асоціативна;

v₆: – операція множення на скаляри дистрибутивна відносно операції додавання елементів множини V;

v₇: – операція множення на скаляри дистрибутивна відносно операції додавання скалярів;

v₈: – одиниця поля P є одиничним елементом відносно операції множення на скаляри.

Нехай V – векторний простір над полем P і а₁,а₂,...,а_m – довільна скінченна множина векторів з V.

Означення 2. Лінійною комбінацією векторів а₁,а₂,...,а_m називається будь-яка сума l₁а₁+l₂а₂+...+l_ma_m, де l₁,l₂,...,l_m P. Множина всіх лінійних комбінацій векторів а₁,а₂,...,а_m називається лінійною оболонкою цих векторів і позначається L(а₁,а₂,...,а_m), тобто L(а₁,а₂,...,а_m)={l₁а₁+l₂а₂+...+l_ma_m |l₁,l₂,...,l_m P}.

Означення 3. Система векторів а₁,а₂,...,а_m називається лінійно залежною, якщо існують такі скаляри l₁,l₂,...,l_m P, не всі одночасно рівні нулю, що l₁а₁+l₂а₂+...+l_mа_m=0. Система векторів а₁,а₂,...,а_m називається лінійно незалежною, якщо із рівності l₁а₁+l₂а₂+...+l_mа_m=0 випливає рівність l₁=l₂=...=l_m=0.

Нехай V – векторний простір над полем Р. Якщо існує скінченна множина векторів а₁,...,а_n така, що V=L(а₁,...,а_n), то говорять, що простір V породжується векторами а₁,...,а_n, і ця множина векторів називається системою твірних простору V.

Означення 4. Векторний простір V називається скінченновимірним, якщо він породжується скінченною множиною векторів. Базисом скінченновимірного векторного простору називається будь-яка скінченна лінійно незалежна система векторів, яка породжує весь простір.

Теорема. Будь-який скінченновимірний векторний простір має базис, причому будь-які два базиси простору складаються з однакової кількості елементів.

Означення 5. Розмірністю ненульового скінченновимірного векторного простору називається кількість векторів довільного базису цього простору. Розмірність нульового векторного простору V={0} вважається рівною нулю. Розмірність простору V позначається символом dimV.

Означення 6. Якщо b₁,...,b_n – фіксований базис векторного простору V над полем Р і а=a₁b₁+...+a_nb_n (a_iÎР), то коефіцієнти a₁,...,a_n називаються координатами вектора а відносно базису b₁,...,b_n. Арифметичний n-вимірний вектор (a₁,...,a_n) називається координатним рядком вектора а.

Література: [1]р.8,§§31-34; [2]гл.7, §§1-4; [8] лекція 1; [9]гл.1, §1; [10]гл.8,§20; [11]р.6,§§29-32.

Приклад 1. Перевірити, чи утворюють вектори а₁=(1,1,–1), а₂=(1,2,1), а₃=(3,2,1) базис 3-вимірного арифметичного простору V₃.

Розв’язання.1 спосіб. Виходячи із означення базису векторного простору, перевіримо спочатку, чи є вектори лінійно незалежними. Припустимо, що деяка їх лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору: l₁а₁+l₂а₂+l₃a₃=0 і з’ясуємо, при яких значеннях коефіцієнтів це можливо. Підставляючи компоненти векторів, будемо мати: l₁(1,1,–1)+ +l₂(1,2,1)+l₃(3,2,1)=(0,0,0). Використовуючи умову рівності двох арифметичних векторів (мають бути рівними їх відповідні компоненти), для знаходження коефіцієнтів отримаємо систему рівнянь: . Розв’яжемо її, використовуючи формули Крамера: . ; (останні три визначники рівні нулю, бо кожен з них містить нульовий стовпець вільних членів системи). Отже, система має єдиний розв’язок а це означає, що система векторів а₁, а₂, a₃ лінійно незалежна, бо із рівності нулю лінійної комбінації цих векторів випливає, що це можливо лише тоді, коли всі коефіцієнти цієї комбінації рівні нулю. Покажемо далі, що дані вектор породжують векторний простір V₃, тобто що довільний вектор із цього простору можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів а₁, а₂, a₃: b=l₁а₁+l₂а₂+l₃a₃. Підставляючи в останню рівність компоненти векторів, для обчислення невідомих коефіцієнтів отримаємо систему: . Оскільки головний визначник цієї системи , то при довільних значеннях компонент система має єдиний розв’язок, тобто довільний вектор b простору V₃ подається через вектори а₁, а₂, a₃. Отже, дані вектори утворюють базис простору V₃.

2 спосіб. Перевіримо спочатку, чи є дані вектори лінійно незалежними. Для цього із компонент векторів утворимо матрицю і знайдемо її ранг, звівши її за допомогою елементарних перетворень до ступінчастого вигляду: . Оскільки ранг цієї матриці дорівнює 3, то вектори а₁, а₂, a₃ є лінійно незалежними. Отже, вони утворюють базис тривимірного арифметичного простору V₃, оскільки його розмірність дорівнює 3, тому в ньому будь-які три лінійно незалежні вектори утворюють базис.

Приклад 2. Знайти координати вектора b=(4,1,–4) відносно базису а₁=(1,1,–1), а₂=(1,2,1), а₃=(3,2,1) 3-вимірного арифметичного простору V₃.

Розв’язання. Вектори а₁, а₂, a₃ справді утворюють базис простору V₃ (див. приклад 1). Для знаходження координат вектора b відносно цього базису подамо його у вигляді b=l₁а₁+l₂а₂+l₃a₃ і знайдемо невідомі коефіцієнти (це й будуть координати вектора b). Підставляючи компоненти векторів, будемо мати: (4,1,–4)=l₁(1,1,–1)+ +l₂(1,2,1)+l₃(3,2,1). Використовуючи умову рівності двох арифметичних векторів (мають бути рівними їх відповідні компоненти), для знаходження коефіцієнтів отримаємо систему рівнянь: . Розв’яжемо її, використовуючи формули Крамера: . ; , , . Отже, , тому вектор b має відносно базису а₁, а₂, a₃ координати (3,–2,1).

Завдання для самостійної роботи

1. З’ясувати, чи утворює векторний простір над полем дійсних чисел множина всіх радіус-векторів площини, кінці яких лежать: а) в 1-й або 2-й координатних чвертях; б) в 1-й або 3-й координатних чвертях; в) на фіксованій прямій, що проходить через початок координат.

2. Знайти базис і ранг скінченної системи векторів а₁=(1,0,0,–1), а₂= =(2,1,1,0), а₃=(1,1,1,1), а₄=(1,2,3,4), а₅=(0,1,2,3) 4-вимірного арифметичного векторного простору V₄.

3. Перевірити, чи утворюють вектори а₁=(1,2,1), а₂=(2,3,3), а₃=(3,1,7) базис 3-вимірного арифметичного простору V₃, і якщо так, то знайти координати вектора b=(3,3,5) відносно цього базису.

4. Довести, що матриці , , , утворюють базис векторного простору квадратних матриць 2-го порядку, та знайти координати відносно цього базису матриці .

Р е к о м е н д о в а н а л і т е р а т у р а

1. Завало С.Т. і ін. Алгебра і теорія чисел, ч.1.– К.: Вища школа, 1974.

2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.– М.: Наука, 1975.

4. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975.

5. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения.– М.: Наука, 1979.

6. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.: Наука, 1979.

7. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.: Изд-во МГУ, 1990.

8. Марач В.С., Крайчук О.В. Курс лекцій з лінійної алгебри.– Рівне, 2005.

9. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1966.

10. Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.– М.: Наука, 1987.

11. Завало С.Т. і ін. Алгебра і теорія чисел. Практикум, ч.1.– К.: Вища школа, 1983.

Поиск по сайту: