Общее решение системы линейных уравнений

Общий вид системы

, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n, - коэффициенты системы; - свободные члены; - переменные;

Если все = 0, система называется однородной.

Общее решение системы линейных уравнений

Определение 1. Однородной системой m линейных алгебраических уравнений для n неизвестных называется система уравнений

вида (1) или в матричном виде (2)

где А -заданная матрица из коэффициентов размером mxn,

- столбец n неизвестных, - нулевой столбец высоты m.

Однородная система всегда совместна (расширенная матрица совпадает с А) и имеет очевидные решения: х₁ = х₂ = … = х_n = 0.

Это решение называется нулевым или тривиальным. Всякое другое решение, если оно есть, называется нетривиальным.

Теорема 1. Если ранг матрицы А равен числу неизвестных, то система (1) имеет единственное (тривиальное) решение.

Действительно, согласно теоремы Крамера, r=n и решение единственное.

Теорема 2. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных (следует из теоремы о числе решений).

Þ если есть ненулевые решения, то решение не единственное, то определитель системы равен нулю, то r<n

Ü если r<n, то система имеет бесконечно много решений (среди них есть нулевое).

Теорема 3. Однородная система n уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда detA = 0.

Þ если есть ненулевые решения, то решений бесконечно много, тогда согласно теореме о числе решений r<n, то detA = 0.

Ü если detA = 0, то r<n, то решение не единственное, то их бесконечно много (следовательно, есть и ненулевое решение).

Теорема 4. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы число уравнений системы было меньше числа неизвестных.

Так как ранг матрицы из коэффициентов не может быть больше числа ее строчек (как и числа столбцов), то r<n, то, согласно теореме 1, система имеет ненулевое решение.

Определение 2. Переменные системы, расположенные на базисных столбцах исходной матрицы коэффициентов, называют базисными переменными, а остальные переменные системы называют свободными.

Определение 4. Частным решением неоднородной системы АХ = В называют вектор столбец Х, полученный при нулевых значениях свободных переменных.

Теорема 6. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений АХ = В имеет вид , где - некоторое частное решение системы уравнений АХ = В, а - ФСР однородной системы АХ = 0.

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

— её расширенная матрица.

Теорема (об общем решении неоднородных систем).
Пусть (т.е. система (2) совместна), тогда:

· если , где — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;

· если , то общее решение системы (2) имеет вид , где — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Теорема (о линейном решении однородных систем).
Пусть — решения однородной системы (1), — произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы.

Теорема (о структуре общего решения).
Пусть , тогда:

· если , где — число переменных системы, то существует только тривиальное решение;

· если , то существует линейно независимых решений рассматриваемой системы: , причём её общее решение имеет вид: , где — некоторые константы.

2. Перестановки и подстановки. Определитель n-го порядка. Свойства определителей.

Определение определителя – го порядка.

Пусть дана квадратная матрица – го порядка:

.

Определение. Произведение элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца называют членом определителя матрицы А.

Обозначение: .

Определение. Определителем (детерминантом) – го порядка или определителем (детерминантом)квадратной матрицы – го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.Обозначение:

, (1)где суммирование ведется по всем перестановкам столбцов.

Свойство 1 Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:

2 Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножееию определителя на это число

3 Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный. 4Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.5 Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю.6 Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю.7 Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.8 Если все элементы k -ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм a_{k j} + b_{k j}, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей.9 Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число.10. Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей:

Поиск по сайту: