ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА ПРИ ПЕРЕХОДЕ К НОВОМУ БАЗИСУ

Пусть V – линейное пространство, А – линейный оператор из , и – два базиса в V и – формулы перехода от базиса к базису . Обозначим через матрицу перехода от базиса к базису. Отметим, что ранг матрицы С равен n. Пусть и – матрицы оператора А в указанных базисах.

Теорема 7.1. Матрицы А и оператора А в базисах и связаны соотношением .

Доказательство. При воздействии линейного оператора А вектор пространства переводится в вектор этого пространства, т.е. справедливо равенство

= А (7.3)

(в старом базисе) и равенство

= А (7.4)

(в новом базисе). Так как – матрица перехода от старого базиса к новому, то

(7.5)

(7.6)

Умножим равенство (7.5) слева на матрицу , получим А = АC и с учетом (7.3) = АC . Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с (7.6), получим: С = АC или = С ^–1 АC . Сравнивая найденное выражение с равенством (7.4), получим доказываемую формулу.

Отсюда следует, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса.

---------------------------------------------------------------------------------

Матрица S перехода от базиса к базису - матрица системы векторов в базисе

Если , то:

или кратко:

Если то т. е. - матрица перехода от базиса к базису .

Преобразование координат вектора

Если то В развернутой записи:

Очевидно, что

10. Линейные подпространства. Сумма и пересечение подпространств.

Подпространством L n -мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.

Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y ∈ L следует, что x+y ∈ L и если x ∈ L, то λx ∈ L, где λ - любое вещественное число.

Поиск по сайту: