Общее решение системы линейных уравнений. Если система линейных уравнений AX = B совместна, rank A = r и, например, - базисный минор матрицы системы

Если система линейных уравнений AX = B совместна, rank A = r и, например, - базисный минор матрицы системы, то она равносильна системе

Придавая переменным (свободным переменным) получаем однозначно (например, по правилу Крамера) Тогда - решение исходной системы.

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных
x₁, x₂,..., x_n:

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

x₁=x'₁, x₂=x'₂,..., x_n=x'_n,

при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

где A — матрица системы, b — правая часть, x — искомое решение, A_p — расширенная матрица системы:

.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система в с е г д а с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

x₁=0, x₂=0,..., x_n=0.

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

8. Линейное пространство. Линейная зависимость. Размерность линейного пространства.

Векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Пусть дано поле элементы которого будем называть скалярами. Множество называется линейным или векторным пространством над а его элементы называются векторами, если на нём определены операции

§ векторного сложения обозначаемая где и

§ умножения вектора на скаляр обозначаемая где

удовлетворяющие следующим условиям:

1.

2.

3.

4.

5.

6. где - мультипликативная единица в

7.

8.

Свойства

1. Нейтральный элемент является единственным.

2. для любого .

3. Для любого противоположный элемент является единственным.

4. для любого .

5. для любых и .

Теорема 2.3. Для того чтобы элементы х, у,..., z пространства R были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть элементы х, у,...,z линейно зависимы, т.е. справедливо равенство (2.2), в котором хотя бы одно из чисел α,β,...,γ, отлично от нуля. Пусть, ради определенности, α ≠ 0. Тогда, поделив (2.2) на α и введя обозначения , мы можем переписать (2.2) в виде

x=λy +... + µz, (2.3)

а это и означает, что элемент х является линейной комбинацией элементов у,..., z.
2) Достаточность. Пусть один из элементов (например, х) является линейной комбинацией остальных элементов. Тогда найдутся числа λ,..., µ такие, что справедливо равенство (2.3). Но это последнее равенство можно переписать в виде

(-1)x + λy +... + µz = 0. (2.4)

Так как из чисел (-1),λ,..., µ одно отлично от нуля, то равенство (2.4) устанавливает линейную зависимость элементов х, у,..., z.
Теорема доказана.
Справедливы два элементарных утверждения.
1. Если среди элементов х, у,..., z имеется нулевой элемент, то эти элементы линейно зависимы. В самом деле, если, например, х = 0, то равенство (2.2) справедливо при α = 1, β =... =γ= 0.
2. Если часть элементов х, у,...,z являются линейно зависимыми, то и все эти элементы являются линейно зависимыми.
В самом деле, если, например, элементы у,..., z линейно зависимы, то справедливо равенство βy +... + γz = 0, в котором не все числа β,...,γ равны нулю. Но тогда с теми же числами α,β,...,γ и с α = 0 будет справедливо равенство (2.2).

Определение 1. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует п линейно независимых элементов, а любые (n + 1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью пространства R.
Размерность пространства R обычно обозначают символом dim R.
Определение 2. Линейное пространство R называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.
В настоящей книге мы будем изучать, в основном, пространства конечной размерности п. Бесконечномерные пространства составляют предмет специального изучения. (Они изучаются в гл. 10 и 11 выпуска «Основы математического анализа», часть П.)
Выясним связь между понятием размерности пространства и введенным в предыдущем пункте понятием базиса.
Теорема 2.5. Если R — линейное пространство размерности n, то любые n линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.
Доказательство. Пусть е₁, е₂,..., е_n — любая система n линейно независимых элементов пространства R (существование хотя бы одной такой системы вытекает из определения 1).
Если х — любой элемент R, то, согласно определению 1, система (n + 1) элементов х, е₁, е₂,..., е_n линейно зависима, т.е. найдутся не все равные нулю числа α₀,α₁, α₂,..., α_n такие, что справедливо равенство

α₀x + α₁е₁ + α₂е₂ +...+ α_nе_n = 0. (2.9)

Заметим, что число α₀ заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае из равенства (2.9) вытекала бы линейная зависимость элементов е₁, е₂,..., е_n. Но тогда, поделив равенство (2.9) на α₀ и положив , мы получим из (2.9)

х = x₁e₁ + x₂e₂ +... + x_ne_n. (2.10)

Так как х — произвольный элемент R, то равенство (2.10) доказывает, что система элементов е₁, е₂,..., е_n является базисом пространства R.
Теорема доказана.
Теорема 2.6. Если линейное пространство R имеет базис, состоящий из n элементов, то размерность R равна n.

Доказательство. Пусть система n элементов е₁, е₂,..., е_n является базисом пространства R. Достаточно доказать, что любые (n + 1) элементов этого пространства х₁, x₂,..., х_n+1 линейно зависимы (ибо базисные элементы е₁, е₂,..., е_n образуют систему n линейно независимых элементов пространства R). Разложив каждый из этих элементов по базису, будем иметь

где a₁₁, a₁₂,..., a_(n+1)n — некоторые вещественные числа. Очевидно, линейная зависимость элементов х₁, x₂,..., х_n+1 эквивалентна линейной зависимости строк матрицы

Но строки указанной матрицы заведомо линейно зависимы, ибо порядок базисного минора этой матрицы (содержащей (n + 1) строк и n столбцов) не превосходит n, и хотя бы одна из (n + 1) ее строк не является базисной и по теореме о базисном миноре (cм. теорему 1.6 из п. 2 § 3 гл. 1) представляет собой линейную комбинацию базисных (а стало быть, и всех остальных) строк. Теорема доказана.
Обращаясь к примерам, рассмотренным в конце предыдущего пункта, мы теперь можем сказать, что размерность пространства В$ всех свободных векторов равна трем, размерность пространства Aⁿ равна n, а размерность пространства {х} равна единице.
Примером бесконечномерного пространства может служить линейное пространство С [а, b] всех функций х = x(t), определенных и непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b (см. пример 4 из п. 1 § 1).
В самом деле, для любого номера п система (n + 1) элементов этого пространства 1, t, t²,..., tⁿ является линейно независимой (ибо в противном случае некоторый многочлен С₀ + C₁t + C₂t² +...+ C_ntⁿ, не все коэффициенты С₀, C₁, C₂,...,C_n которого равны нулю, оказался бы тождественно равным нулю на сегменте а ≤ t ≤ b).

9. Базис линейного пространства. Замена базиса. Преобразования координат, матрица преобразования.

Определение Базисом в линейном пространстве А называется любой упорядоченный ⁷²² набор его п элементов, если

1°. эти элементы линейно независимые;

2°. любое подмножество в А, состоящее из п+1 элемента и включающее эти п элементов, линейно зависимо.

Определение Линейное пространство А называется п-мерным и обозначается А", если в ⁷²³ нем существует базис, состоящий из п элементов. Число п называется раз

мерностью линейного пространства А" и обозначается dim(A").

Теорема д_ля каждого элемента линейного пространства А” существует единст-

^{7 21} венное представление в виде линейной комбинации базисных элемен

тов.

Доказательство:

Пусть в линейном пространстве Л^п заданы базис {gi,g2, -,S_n) ^и произвольный элемент х. Тогда, по определению базиса, система элементов {gi,g₂-, - -,gm^x} ^ли- нейно зависима и по лемме 7.2.1. элемент х является линейной комбинацией элементов gi,g2,---,g_n- Существование разложения доказано.

Покажем единственность разложения. Допустим, что существуют две различные ли-

П П

нейные комбинации ^{x =} '^_J%jgi ^{и x =} '^l^rIigi- Тогда получаем, что

/ = 1 /'=1

П

Е(6 -Пг)g_t = о, но это означает, что при данном допущении система элементов

i=1

giig2>--->gn линейно зависима. Полученное противоречие доказывает единственность.

Теорема доказана.

Поиск по сайту: