Разложение определителя

По элементам i -й строки:

По элементам j -го столбца:

Например, при n = 4 разложение по первой строке

4. Обратная матрица. Решение СЛУ методом Крамера.

Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица называется обратной к невырожденной матрице, если, где - это единичная матрица соответствующего порядка.

Свойства обратной матрицы:

1°

2°

3°

4°

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

5. Ранг матрицы. Теоремы о ранге матрицы и о базисном миноре.

Определение. Рангом матрицы А принадл Rmxn называется наивысший порядок минора матрицы А отличного от нуля.Если ненулевых миноров n-ка (к принадлежит от 1 до min(m,n)) матрицы А не имеет, то ее решение=0.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

Доказательство. Пусть - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. ранг системы столбцов (число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему) по утверждению 1 (если система линейно независима (количество ) и выражается через другую (количество ) то ) . по утверждению 1 и утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и тогоже числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы

Теорема о базисном миноре. Столбцы матрицы А, входящие в БМ, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из БМ.

Доказательство. Предположим противное - система длинных столбцов линейно зависима система коротких столбцов (входящих в длинные) линейно зависима ( по свойству определителя

БМ Противоречие, т.к. БМ .

Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу. Покажем, что -ый столбец линейно выражается через столбцы из БМ. (иначе он сам является столбцом из БМ). Рассмотрим минор порядка на один больше, он будет нулевой.

Фиксируем . Раскладываем определитель по -ой строке:

так как минор порядка - нулевой (где - БМ . Выражаем : Получены коэффициенты . Для любого : (так как - любое)

Следствие. Если все столбцы матрицы А линейно выражаются через r столбцов , которые образуют линейно независимую систему, то .

Доказательство. Столбцы входящие в максимальную линейно независимую систему (в кол-ве штук) линейно выражаются через . столбцы (в кол-ве r штук) линейно выражаются через максимальную линейно независимую систему в кол-ве .

6. Теорема Кронекера - Капелли. Системы однородных линейных уравнений.

Определение 3. Фундаментальной совокупностью решений (сокращенно ФСР) называется набор вектор столбцов , номера которых являются свободными столбцами исходной матрицы из коэффициентов.

Теорема 5. Если ранг матрицы r системы меньше числа неизвестных n, то общее решение однородной системы уравнений описывается формулой , где - произвольные числа, а - фундаментальная совокупность решений.

Теорема (о ФСР).
Пусть ранг основной матрицы , где — число переменных системы (1), тогда:

· ФСР (1) существует: ;

· она состоит из векторов;

· общее решение системы имеет вид .

Замечание:
Если , то ФСР не существует.

Теорема К-К.

Для того, чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Поиск по сайту: