АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Мішаний добуток трьох векторів. Подвійний векторний добуток

Читайте также:
  1. А. Рішення на застосування одного з перших трьох режимів радіаційного захисту
  2. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. незал. множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторів.
  3. Арифметичний n-мірний векторний простір.
  4. Б. Аварійний режим роботи трьохфазної мережі з ізольованою нейтраллю.
  5. В) Прямий (декартів) добуток множин
  6. Векторний добуток векторів і його основні властивості
  7. Векторний добуток двох
  8. Види матриць. Лінійні дії над матрицями та їх властивості. Транспонування матриць. Добуток матриць
  9. Глава 31 ЗМІШАНИЙ (ГІБРИДНИЙ) ТИП ПРАВОВОЇ СИСТЕМИ
  10. До завдання № 3. (добуток матриць)
  11. Загальна характеристика трьох гілок влади: законодавчої, виконавчої, судової
  12. Заняття 23. Спосіб отримання трьохфазної системи напруг та струмів. Трьохфазний генератор.

 

Якщо векторний добуток двох векторів помножається скалярно на третій вектор , то такий добуток трьох векторів називається мішаним (векторно-скалярним) і позначається так:

= (46).

Мішаний добуток має просте геометричне тлумачення – це скаляр, який за абсолютною величиною дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних трьох векторах.

Якщо вектори , , утворюють праву трійку, то мішаний добуток є число додатне, що дорівнює зазначеному об’єму, а якщо трійка , , ‑ ліва, то мішаний добуток – число від’ємне, яке за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних векторах.

Мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулеві тоді, коли ці вектори компланарні, тобто умова компланарності трьох векторів має вигляд:

(47).

Мішаний добуток не змінюється, якщо має місце переставлення співмножників за колом і змінює знак, якщо в такому переставленні порушено послідовність співмножників:

(48).

 

Тому мішаний добуток векторів , , іноді позначають простіше, написавши їх поряд у тій послідовності, в якій проводяться дії:

(49).

Помітимо, що якщо в мішаному добутку є два колінеарні вектори, то він дорівнює нулеві.

Якщо векторний добуток двох векторів помножається векторно на третій вектор , то такий добуток називається подвійним векторним добутком і позначається так:

(50).

Для подвійного векторного добутку порушується комутативний і асоціативний закони:

(51),

(52).

Вектор компланарний векторам і ; тому має місце формула:

(53).

Приклад 1. Три вершини тетраедра знаходяться в точках А (2; 1; -1), В (3; 0; 1), С (2; -1; 3). Знайти координати четвертої вершини D, яка належить вісі Оу, якщо об’єм тетраедра дорівнює 3 куб. од.

 

Розв’язання:

Оскільки точка D належить вісі Оу, то її координати (0; у; 0). Об’єм тетраедра ABCD можна розглядати як об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах як на ребрах:

.

Розв’язуючи це рівняння, дістанемо, що отже .

Приклад 2. Визначити, якою є трійка векторів , , (правою або лівою), якщо:

1)

2)

3)

Розв’язання:

Знайдемо мішаний добуток трьох заданих векторів. Якщо цей добуток не буде дорівнювати нулеві, то вектори , , будуть некомпланарні. Якщо при цьому то трійка , , ‑ права, а якщо то – ліва.

1) звідси видно, що трійка векторів права;

2) тобто вектори компланарні;

3) тобто трійка векторів ліва.

Приклад 3. Довести, що чотири точки лежать в одній площині.

Розв’язання:

Для того, щоб довести, що чотири точки лежать в одній площині, достатньо довести, що три вектора, початком яких є деяка з даних чотирьох точок, а кінцями є інші три точки, лежать в одній площині, тобто, що ці три вектори компланарні. За спільний початок векторів виберемо точку А, тоді:

Вектори будуть компланарними тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулеві.

= ‑2+12‑8‑2=0.

Отже, одержали, що вектори компланарні, тому точки A, B, C, D належать одній площині.

Приклад 4. Задана піраміда з вершинами в точках А (1; 2; 3), В (‑2; 4; 1), С (7; 6; 3), D (4; ‑3; ‑1). Знайти:

а) довжину ребер ;

б) площу грані АВС;

в) кут між ребрами і ;

г) об’єм піраміди;

д) довжину висоти, опущеної на грань АВС.

Розв’язання:

а) Знайдемо вектори .

Знайдемо модулі цих векторів:

б) Площа грані АВС буде дорівнювати:

в) Кут між ребрами і знайдемо за формулою:

г) Об’єм піраміди обчислимо за формулою:

д) Довжину висоти h, опущеної на грань АВС, можна знайти, користуючись формулою:

звідки

Таким чином

.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)