Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.1. Матрицы и действия с ними.

1.2. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Кремера.

1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы.

1.4. Системы линейных уравнений. Совместимость систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Вычисление ранга матрицы

1.6. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами. Линейно независимая система векторов. Размерность и базис векторного пространства. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы и длина вектора. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису.

1.7. Декартова система координат. Координаты точки. Расстояние между точками. Деление отрезка в заданном отношении.

1.8. Скалярное произведение векторов и его свойства. Координатное выражение скалярного произведения. Угол между векторами. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения.

1.9. Уравнения прямой на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

1.10. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

1.11. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Их геометрические свойства и уравнения. Полярные координаты на плоскости.

1.12. Уравнения поверхности в пространстве.

1.13. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису.

1.14. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен.

1.15. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

СЕМЕСТР 2

Вариант 1

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;–1;1), b = (–1;2;1), c = (1;3;1), d = (–1;–2;3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a–b)(3 a +4 b), б) |(2 a–b) ´ (3 a +4 b)|,

где | a |=2, | b |=3, a^b =p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (1;3;3), B (–1;2;–2), C (0;–1;3), D (2;1;0).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 2sin(2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–5;0) и F ₂(3;0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 16 x ²–9 y ²–64 x –54 y –161=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 2

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;4;2), b = (–1;–2;–2), c = (3;5;1), d = (3;5;–1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a– 3 b)(2 a + b), б) |(a– 3 b) ´ (2 a + b)|,

где | a |=4, | b |=2, a^b =2p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (3;2;1), B (1;–2;3), C (0;–1;4), D (2;1;0).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 2(1+sinj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–3;0) и F ₂(7;0) есть величина постоянная и равна p =6. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 4 x ²+5 y ²+24 x +30 y +61=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 3

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;2;3), b = (5;1;2), c = (–1;–3;–2), d = (8;0;1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a+ 2 b)(b– 3 a), б) |(a+ 2 b) ´ (b– 3 a)|,

где | a |=2, | b |=3, a^b =p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2;–1;1), B (5;5;4), C (3;2;–1), D (4;1;3).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 2(1+sinj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–4;0) и F ₂(2;0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 5 x ²–3 y ²–10 x –18 y –37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 4

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1;0;1), b = (0;–2;1), c = (1;3;0), d = (8;9;4).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a+b)(a– 3 b), б) |(2 a+b) ´ (a– 3 b)|,

где | a |=3, | b |=4, a^b =p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2;-1;2), B (1;2;-1), C (3;2;1), D (4;2;3).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 2(1+cos2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7;0) и F ₂(13;0) есть величина постоянная и равна p =16. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 36 x ²+49 y ²+72 x –196 y –1442=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 5

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1;1;0), b = (–4;3;2), c = (–1;2;1), d = (1;–1;–1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a+ 3 b)(b– 3 a), б) |(2 a+ 3 b) ´ (b– 3 a)|,

где | a |=6, | b |=2, a^b =p/6..

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2;1;4), B (–1;5;2), C (3;3;2), D (–1;4;3).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 3(2–cos2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–6;0) и F ₂(2;0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 5 x ²–4 y ²+30 x +8 y +21=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 6

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (5;4;1), b = (–3;5;2), c = (2;–1;3), d = (7;23;4).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a– 3 b)(a– 2 b), б) |(2 a– 3 b) ´ (a– 2 b)|,

где | a |=4, | b |=3, a^b =p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2;3;1), B (4;1;-2), C (6;3;3), D (5;4;3).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 3(2–cos2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–4;0) и F ₂(6;0) есть величина постоянная и равна p =8. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 9 x ²+16 y ²+18 x –64 y –64=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 7

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;1;0), b = (1;0;1), c = (4;2;1), d = (3;1;3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a–b)(a+ 3 b), б) |(2 a–b) ´ (a+ 3 b)|,

где | a |=4, | b |=1, a^b =2p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (4;5;–3), B (6;5;–4), C (3;2;0), D (6;3;–3).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 2sin(4j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–5;0) и F ₂(3;0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 3 x ²–5 y ²+18 x +10 y +37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 8

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (3;–1;2), b = (–2;3;1), c = (4;–5;–3), d = (–3;2;–3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (4 a–b)(a +2 b), б) |(4 a–b) ´ (a +2 b)|,

где | a |=3, | b |=2, a^b =p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (1;2;0), B (3;0;3), C (5;2;6), D (4;4;4).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 2cos(3j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–11;0) и F ₂(9;0) есть величина постоянная и равна p =12. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 4 x ²+5 y ²–8 x+ 20 y+ 4=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 9

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;2;3), b = (3;1;2), c = (1;3;1), d = (4;0;1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a– 3 b)(a+ 2 b), б) |(2 a– 3 b) ´ (a+ 2 b)|,

где | a |=5, | b |=2, a^b =3p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2;0;4), B (–1;3;-1), C (1;3;–3), D (3;5;0).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 3cos(4j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–4;0) и F ₂(2;0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 9 x ²–4 y ²–72 x –16 y +96=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 10

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (–3;1;4), b = (–1;5;4), c = (–1;1;6), d = (0;4;3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a– 4 b)(a +2 b), б) |(a– 4 b) ´ (a +2 b)|,

где | a |=3, | b |=2, a^b =5p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (3;1;4), B (–1;5;4), C (1;1;6), D (0;4;3).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 2sin(4j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7;0) и F ₂(3;0) есть величина постоянная и равна p =8. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 5 x ²+9 y ²+20 x +72 y +119=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 11

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;–1;1), b = (–1;2;1), c = (1;3;1), d = (–1;–2;3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a–b)(3 a +4 b), б) |(2 a–b) ´ (3 a +4 b)|,

где | a |=2, | b |=3, a^b =p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если А (–1;–2;0), B (1;1;2), C (1;2;2), D (1;3;3).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 4sin(2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–6;0) и F ₂(2;0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 16 x ²–9 y ²–64 x –54 y –161=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 12

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;4;2), b = (–1;–2;–2), c = (3;5;1), d = (3;5;–1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a–b)(3 a +4 b), б) |(2 a–b) ´ (3 a +4 b)|,

где | a |=2, | b |=3, a^b =p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (1;3;–1), B (2;–2;0), C (–1;1;2), D (3;2;1).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую 4(2–cosj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–11;0) и F ₂(9;0) есть величина постоянная и равна p =12. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 4 x ²+5 y ²+24 x +30 y +61=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 13

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;2;3), b = (5;1;2), c = (–1;–3;–2), d = (8;0;1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a+ 2 b)(b– 3 a), б) |(a+ 2 b) ´ (b– 3 a)|,

где | a |=2, | b |=3, a^b =p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2;3;4), B (–2;0;3), C (–1;2;1), D (2;–1;1).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 5(2–sinj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7;0) и F ₂(5;0) есть величина постоянная и равна p =20. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 3 x ²–5 y ²+18 x +10 y +37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 14

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1;0;1), b = (0;–2;1), c = (1;3;0), d = (8;9;4).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a+b)(a– 3 b), б) |(2 a+b) ´ (a– 3 b)|,

где | a |=3, | b |=4, a^b =p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (4;–1;2), B (2;2;–2), C (3;0;1), D (2;1;2).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 4(2–cosj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–3;0) и F ₂(7;0) есть величина постоянная и равна p =6. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 36 x ²+49 y ²+72 x –196 y –1442=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 15

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1;1;0), b = (–4;3;2), c = (–1;2;1), d = (1;–1;–1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a+ 3 b)(b– 3 a), б) |(2 a+ 3 b) ´ (b– 3 a)|,

где | a |=6, | b |=2, a^b =p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (–3;–2;2), B (1;1;3), C (2;1;–1), D (2;1;4).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 2(1+cos2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–4;0) и F ₂(8;0) есть величина постоянная и равна p =20. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 9 x ²–4 y ²–72 x –16 y +96=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 16

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1;1;0), b = (–3;5;2), c = (2;–1;3), d = (7;23;4).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a– 3 b)(a –2 b), б) |(2 a– 3 b) ´ (a –2 b)|,

где | a |=4, | b |=3, a^b =p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (5;–1;3), B (4;1;2), C (3;2;1), D (5;2;4).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую sin²(2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7;0) и F ₂(13;0) есть величина постоянная и равна p =16. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 9 x ²+16 y ²+18 x –64 y –64=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 17

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если = (2;1;0), b = (1;0;1), c = (4;2;1), d = (3;1;3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a– 3 b)(a –2 b), б) |(2 a– 3 b) ´ (a –2 b)|,

где | a |=4, | b |=3, a^b =p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (5;–1;0), B (2;2;–1), C (3;1;–2), D (4;5;1).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 2cos(3j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7;0) и F ₂(5;0) есть величина постоянная и равна p =20. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 16 x ²–9 y ²–64 x –54 y –161=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 18

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (3;–1;2), b = (–2;3;1), c = (4;–5;–3), d = (–3;2;–3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (4 a–b) ´ (a +2 b), б) |(4 a–b) ´ (a +2 b)|,

где | a |=3, | b |=2, a^b =p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (3;–3;0), B (–1;1;2), C (2;1;1), D (4;0;2).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 6sin(3j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–4;0) и F ₂(6;0) есть величина постоянная и равна p =8. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 4 x ²+5 y ²–8 x+ 20 y+ 4=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 19

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;2;3), b = (3;1;2), c = (1;3;1), d = (4;0;1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a– 3 b)(a+ 2 b), б) |(2 a– 3 b) ´ (a+ 2 b)|,

где | a |=5, | b |=2, a^b =3p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (1;2;–3), B (2;–1;1), C (1;3;–2), D (3;1;2).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 4(1–cosj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7;0) и F ₂(5;0) есть величина постоянная и равна p =20. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 5 x ²–3 y ²–10 x –18 y –37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 20

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (–3;1;4), b = (–1;5;4), c = (–1;1;6), d = (0;4;3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a– 4 b)(a +2 b), б) |(a– 4 b) ´ (a +2 b)|,

где | a |=3, | b |=2, a^b =5p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (4;4;5), B (2;3;4), C (1;2;2), D (3;1;3).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 5(1–sinj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–11;0) и F ₂(9;0) есть величина постоянная и равна p =12. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 5 x ²+9 y ²+20 x +72 y +119=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 21

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

Поиск по сайту: