Определения. Глава 8 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 8 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводит к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту или иную задачу, с функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

Пример: равноускоренное движение материальной точки.

Путь, пройденный материальной точкой при равноускоренном движении, выражается формулой:

Ускорение a – это производная по времени от скорости V, а скорость V –производная по времени t от перемещения S.

Обозначим . Þ уравнение связывает функцию f (t) с независимой переменной t и второй производной этой функции.

Определение. Обыкновенным д ифференциальным уравнением (д.у.) называется уравнение, связывающее независимую переменную, функцию этой переменной и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в д.у., называется его порядком.

Пример. 1) – д.у. 1 – го порядка.

Общий вид уравнения .

2) –д.у. 2-го порядка.

Общий вид уравнения

Определение. Общим решением д.у. называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Свойства общего решения

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то д.у.имеет бесконечное множество решений.

2) Для начального условия у(х₀) = у₀ $ значение С = С₀, при котором решением д.у. является функция у = j(х, С₀).

Определение. Решение вида у = j(х, С₀) называется частным решением д.у.

Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения д.у. вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальному условию у(х₀) = у₀.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения д.у. 1- го порядка)

– д.у.1-го порядка. Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывные частные производные, то точки (х₀, у₀)Î D, $ единственное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию j(х₀) = у₀.

Определение. Интегралом д.у. называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное д.у. является следствием.

Пример. Найти общее решение д.у. .

Общее решение д.у. находим с помощью интегрирования:

запишем производную в виде отношения дифференциалов

разделяем переменные

переменные разделены, можно интегрировать

интегрируем

произвольную константу записываем в виде lnC, т.к. x и y под знаком логарифма.

–общее решение исходного д.у.

Пусть задано начальное условие, т.е. задана задача Коши: при x₀ = 1; y₀ = 2.

Þ

– частное решение д.у. (решение задачи Коши).

Определение. Интегральной кривой называется график y = j(x) решения д.у. на плоскости ХОY.

Определение. Особым решением д.у. называется такое решение, во всех точках которого не выполняется условие теоремы Коши, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С.

Не каждое д.у. имеет особые решения.

Пример. Найти общее решение д.у.: Найти особое решение, если оно $.

разделяем переменные

можно интегрировать

интегрировать

, С¹0 С под знаком логарифма, т.к.

$ особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество.

Ответ:

Поиск по сайту: