Приклад К-1

Рух точки відбувається в площині і заданий параметричними рівняннями:

(1)

Визначити:

1. Рівняння траєкторії руху точки. Зобразити траєкторію на рисунку.

2. Положення точки на траєкторії в момент часу і .

3. Швидкість точки в момент часу .

4. Прискорення точки в момент часу .

5. Дотичне і нормальне прискорення точки в момент часу .

6. Радіус кривизни траєкторії точки в момент часу .

Усі знайдені величини зобразити на рисунку в масштабі.

Розв’язування.

1. Для визначення рівняння траєкторії точки виключимо параметр із рівнянь руху (1). Ураховуючи, що час входить в аргумент тригонометричних функцій, скористаємося формулою:

, тобто (2)

З рівнянь руху знаходимо вирази відповідних функцій і підставляємо в рівність (2)

чи (3)

Рівняння параболи (3) є рівнянням траєкторії руху точки. Враховуючи, що

-1 та -1 , маємо обмеження для та :

-1 та -2 , тобто траєкторією руху точки є частина параболи. Побудуємо траєкторію точки на рисунку К1.а з масштабним коефіцієнтом .

2. Визначимо початкове положення точки і положення точки в момент часу на траєкторії. Для цього підставимо в рівняння (1) час і . Отримаємо:

(4)

(5)

Таким чином (1;-2), а (1,77; -1,41). Покажемо ці точки на траєкторії (рис.К1.а).

3. Визначимо швидкість точки. Проекції швидкості в довільний момент часу дорівнюють:

(6)

В момент часу

Модуль швидкості для моменту :

.

Побудуємо вектор швидкості точки по його складовим

, , де і в масштабі (рис.К1.а).

4. Визначимо прискорення точки. Проекції прискорення в довільний момент часу дорівнюють:

(7)

У момент часу одержимо:

Модуль прискорення точки :

Вектор повного прискорення точки побудуємо по його складових , де і в масштабі (рис.К1.б).

5. Визначимо дотичне і нормальне прискорення точки в момент часу , використовуючи формули:

Побудуємо вектор повного прискорення точки по проекціях і (рис.К1.б). Для зображення векторів використовуємо той же масштаб, тобто Значення дотичного прискорення виявилося додатнім, тому відкладаємо його по осі М (дотичної до траєкторії) у напрямку вектора швидкості . Вектор нормального прискорення направимо перпендикулярно до осі М по нормалі М (вбік увігнутості траєкторії).

Збіг векторів повного прискорення при вирішенні задачі в нерухомій системі координат Оxy і рухомій системі координат М говорить про правильність результату.

6. Радіус кривизни траєкторії в точці визначимо по формулі:

Відповідь.

Завдання К-2. Кінематика простих рухів тіл

Умова завдання. Механізм складається зі ступінчастих коліс 1-3, зубчастої рейки 4 і вантажу 5 (рис.К2.0 – К2.9, табл.К2). Колеса пов'язані між собою зубчастою або пасовою передачею; рейка знаходиться у зубчастім зачепленні з одним із коліс; а вантаж прикріплений до нитки, яка намотана на колесо. При русі механізму відносне ковзання його елементів не відбувається, а пас і нитка вважаються нерозтяжними.

Радіуси зовнішніх та внутрішніх ободів (ступіней) коліс дорівнюють відповідно: у колеса 1 - і ; у колеса 2 - і ; у колеса 3 - і . На ободах коліс розташовані точки і .

У стовпці «Дано» табл.К2 зазначений закон руху ведучої ланки механізму. Додатний напрямок для кута - проти руху годинникової стрілки; для відстані - униз; - виражено в рад, - у см, час - у сек.

Визначити. В момент часу визначити указані в стовпцях «Знайти» швидкості та прискорення відповідних тіл і точок тіл. Знайдені величини показати на рисунку.

Табл.К2

Номер рядка даних	Дано	Знайти
Швидкості	Прискорення

Теоретичне обґрунтування: [4] §.48-51, [5] Разд.II, гл. 2,§ 1-3, [6] Разд.2, гл. X,§ 78-84; [7]; [8].

Методичні вказівки. Задача К-2 – на дослідження простих видів руху твердого тіла (поступального й обертального).

Варто розрізняти кінематичні характеристики твердих тіл і кінематичні характеристики окремих точок цих тіл.

При поступальному русі тіла

Кінематичні характеристики тіла – лінійна швидкість тіла і лінійне прискорення тіла. Кінематичні характеристики точки тіла - швидкість точки і прискорення точки.

Закон руху тіла задається рівнянням руху однієї з його точок . Швидкість тіла - . Прискорення тіла - .

Кінематичні характеристики тіла й окремих точок тіла збігаються.

При обертальному русі тіла навколо нерухомої осі

Кінематичні характеристики тіла – кутова швидкість тіла і кутове прискорення тіла. Кінематичні характеристики точки тіла – лінійна швидкість точки і лінійне прискорення точки.

Закон обертального руху тіла задається залежністю кута повороту від часу: . Кутова швидкість - . Якщо алгебраїчне значення ,то напрям і збігається; якщо , то вони спрямовані протилежно. Кутове прискорення - . Якщо і мають однакові знаки, то рух прискорений, якщо різні – сповільнений.

Швидкість довільної точки тіла, якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, визначається за формулою , де - відстань від точки до осі обертання. Вектор швидкості точки лежить у площині, перпендикулярній осі обертання і спрямований по дотичній до траєкторії руху точки, тобто , за напрямком кутової швидкості.

Вектор прискорення довільної точки тіла, якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, дорівнює геометричній сумі обертального (дотичного) і доцентрового (нормального) прискорень, тобто , де і . Вектор , збігається за напрямком зі швидкістю, якщо рух прискорений, або спрямований протилежно, якщо рух сповільнений. Вектор лежить у площині, перпендикулярній осі обертання і завжди спрямований до осі обертання.

Модуль прискорення точки визначається за формулою .

Поиск по сайту: