Приклад К-2

Механізм складається зі ступінчастих коліс 1-3, зубчастої рейки 4 і вантажу 5 (рис.К2.а). Колеса 1 і 2 пов'язані між собою пасовою передачею; колеса 2 і 3 – зубчастою передачею; рейка 4 знаходиться в зубчастім зачепленні із колесом 1; а вантаж 5 прикріплений до нитки, яка намотана на колесо 3. Пас і нитка нерозтяжні. При русі механізму відносне ковзання елементів не відбувається.

Радіуси зовнішніх та внутрішніх ободів (ступіней) коліс дорівнюють відповідно: у колеса 1 - і ; у колеса 2 - і ; у колеса 3 - і .

Рейка рухається за законом . Вісь спрямована вертикально вниз. Точка належить зовнішньому ободу колеса 3.

Визначити швидкості та прискорення всіх тіл і точки в момент часу . Усі знайдені величини зобразити на рисунку.

Розв’язування.

Механізм (рис.К2.а) є механічною системою з одним ступенем вільності. Тобто рух кожного з елементів пов’язаний з рухом інших елементів жорсткими кінематичними співвідношеннями. Тому, якщо рух одного з тіл задається, кінематичні характеристики інших тіл і їх точок фактично є визначеними. В умові даної задачі задається рух рейки 4.

1. Визначимо швидкості тіл механізму.

Знаючи закон поступального руху рейки 4, знайдемо її швидкість

. При .

Знак «-» указує на те, що в даний момент часу вектор швидкості спрямований протилежно додатному напрямку осі , тобто вгору (рис.К2.б).

Рейка 4 контактує без ковзання з внутрішнім ободом колеса 1. Враховуючи це, отримаємо рівняння зв’язку рухів тіл 1 і 4:

. При одержимо .

Напрямок кутової швидкості залежить від напрямку швидкості рейки. У даному випадку спрямована проти руху годинникової стрілки.

Колеса 1 і 2 з'єднуються зворотною пасовою передачею по зовнішньому ободу колеса 1 (радіус ) і внутрішньому ободу колеса 2 (радіус ).

Швидкість точок паса і швидкість точок коліс по зазначених радіусах однакова і дорівнює:

. Звідси маємо .

При зворотній (перехресної) пасовій передачі напрямок обертання коліс 1 і 2 протилежний. Тому кутова швидкість спрямована за рухом годинникової стрілки.

Колеса 2 і 3 зв'язані між собою зубчастим зачепленням по зовнішніх радіусах коліс. Тому спільна для обох коліс точка контакту має швидкість:

. Звідси маємо .

При зовнішнім зачепленні напрямок обертання коліс протилежний, тобто колесо 3 обертається проти руху годинникової стрілки.

Вантаж 5 зв'язаний з колесом 3 за допомогою нерозтяжної нитки, намотаної на внутрішній обід колеса. У цьому випадку спільною точкою зв’язку рухів тіл 5 і 3 є точка дотику колеса й нитки, яка має таку ж швидкість як вантаж, тобто:

. У момент часу маємо .

Напрямок руху вантажу визначається напрямком обертання колеса 3, тобто вантаж має швидкість , спрямовану вниз.

2. Визначимо швидкість точки колеса 3 в момент часу .

Точка належить колесу 3, яке обертається з кутовою швидкістю і розташована на відстані від осі його обертання. Тому її швидкість:

. При одержимо .

Вектор спрямований по дотичній до обода вбік обертання колеса 3 (рис.К2.б).

3. Визначимо прискорення тіл.

Знаючи закон руху рейки, визначимо її прискорення:

і при .

Маємо > 0, тому вектор спрямований у напрямку осі , тобто вниз (рис.К2.в).

Кутове прискорення колеса 1 залежить від дотичного прискорення точки з'єднання з рейкою, що збігається з прискоренням .

Таким чином маємо:

. При

Якщо вектор спрямований вниз, то напрямок - за рухом годинникової стрілки.

Точки з'єднання коліс 1 і 2 мають однакові дотичні прискорення. Тому справедливо: .

Тоді при .

Кутове прискорення спрямоване протилежно пришвидшенню , тобто проти руху годинникової стрілки.

За аналогією можна записати , тобто при маємо

. Напрямок прискорення протилежний, тобто за рухом годинникової стрілки.

Прискорення вантажу 5:

Вектор спрямований вгору.

4. Визначення прискорення точки .

Точка належить колесу 3, яке обертається з кутовою швидкістю і з кутовим прискоренням . Відстань точки від осі обертання - .

Модуль прискорення точки визначимо за формулою:

Дотичне прискорення точки :

Вектор прикладений у точці і спрямований по дотичній до обода колеса 3 у напрямку кутового прискорення .

Нормальне прискорення точки :

Вектор прикладений у точці і спрямований до осі обертання колеса 3.

Таким чином: .

Напрямок повного прискорення точки визначається векторною сумою векторів і (рис.К2.в).

	Кінематичні характеристики тіл 1-5 і точки : 1. Колесо 1 - ; 2. Колесо 2 - ; 3. Колесо 3 - ; 4. Рейка 4 - ; 5. Вантаж 5 - ; 6. Точка - Напрямок векторів швидкостей і прискорень – рис.К2,б,в.

Відповідь.

Завдання К-3. Дослідження плоского руху твердого тіла

Умова завдання. Плоский механізм складається зі стержнів 1, 2, 3, 4 і повзуна або (рис.К3.0 – К3.7) або зі стержнів 1, 2, 3 і повзунів і (рис.К.3.8, К3.9), з'єднаних один з одним і з нерухомими опорами , шарнірами; точка знаходиться всередині стержня . Довжини стержнів дорівнюють відповідно Положення механізму визначається кутами Значення цих кутів і інших заданих величин зазначені в табл.К3а (для рис.К3.0–К3.4) або в табл.К3б (для рис.К3.5–К3.9); при цьому в табл.К3а і - величини постійні.

Визначити. Визначити величини, зазначені в таблицях у стовпцях «Знайти». Дугові стрілки на рисунках показують, як при побудові положення механізму повинні відкладатися відповідні кути: за рухом або проти руху годинникової стрілки (наприклад, кут на рис.К3.8 варто відкласти від за рухом годинникової стрілки, а на рис.К3.9 – проти руху годинникової стрілки і т.д.).

Побудову положення механізму починати зі стержня, напрямок якого визначається кутом ; повзун з напрямними для більшої наочності зобразити так, як у прикладі К3 (рис.К3б).

Задану кутову швидкість і кутове прискорення вважати спрямованими проти руху годинникової стрілки, а задані швидкість і прискорення - від точки до (на рис.К3.5 – К3.9).

Табл.К3а

Номер умови	Кути, град	Дано	Знайти
					, рад/с	, рад/с	точок	ланки	точки	ланки
							-	У, Е	DE	B	AB
						-		А, Е	AB	A	AB
							-	У, Е	AB	B	AB
						-		А, Е	DE	A	AB
							-	D, E	AB	B	AB
						-		A, E	AB	A	AB
							-	B, E	DE	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB
							-	D, E	AB	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB

Табл.К3б

Номер умови

Кути, град

Дано

Знайти

, рад/с

, рад/с2

, м/с

, м/с2

точок

ланки

точки

ланки

-

-

У, Е

АВ

B

AB

-

-

А, Е

DE

A

AB

-

-

У, Е

АВ

B

AB

-

-

А, Е

АВ

A

AB

-

-

У, Е

DE

B

AB

-

-

D, E

DE

A

AB

-

-

У, Е

DE

B

AB

-

-

А, Е

АВ

A

AB

-

-

У, Е

DE

B

AB

-

-

D, E

АВ

A

AB

Теоретичне обґрунтування: [4] §52-58; [5] Разд. II., Гл. 3., § 1 - 9; [6] Разд.2., Гл. XI., §85-91, §96-100; [7]; [8]; [11].

Методичні вказівки. Задача К-3 - на дослідження плоского руху твердого тіла.

Закон руху задається рівняннями:

(1)

де і - рівняння руху деякого полюса ,

- рівняння обертання тіла навколо осі, що проходить через полюс і перпендикулярна площині руху.

Відповідно до рівнянь руху (1) кінематичними характеристиками плоского руху тіла є швидкість і прискорення полюса , а також кутова швидкість і кутове прискорення тіла при його обертанні навколо осі, що проходить через полюс перпендикулярно площині руху.

Кінематичними характеристиками руху деякої точки , що належить тілу, є її швидкість і прискорення .

Швидкість будь-якої точки тіла при плоскому русі може бути знайдена:

1) векторним способом;

2) за допомогою теореми про проекції швидкостей двох точок;

3) за допомогою миттєвого центра швидкостей (МЦШ).

При векторному способі швидкість знаходять з допомогою векторного рівняння , де - швидкість полюса, а - швидкість точки в обертальному русі навколо полюса (При цьому , а ). Даний спосіб визначення швидкостей точок ще називають геометричним.

Теоремою про проекції швидкостей двох точок зручно користуватися при визначенні швидкостей точок важільних механізмів. При цьому кутове положення всіх ланок механізму щодо осей декартової системи координат повинне бути визначеним. Формулювання теореми: проекції векторів швидкостей двох точок плоскої фігури на пряму, що з'єднує ці точки, однакові. Таким чином, для будь-яких двох точок і плоскої фігури справедлива рівність: , де - кут між вектором і прямою АВ, - кут між вектором і прямою .

Миттєвим центром швидкостей (МЦШ) називають точку плоскої фігури, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулеві. Плоский рух тіла в даний момент часу можна розглядати як обертальний навколо МЦШ. Тому, швидкості всіх точок плоскої фігури мають величину і спрямовані так, ніби тіло виконує дійсне обертання навколо осі, що проходить через МЦШ, перпендикулярній площині плоскої фігури, тобто і . Положення МЦШ визначається точкою перетинання перпендикулярів, поставлених до швидкостей двох точок фігури (при цьому напрямки швидкостей цих точок повинні бути заздалегідь відомі). Якщо зазначені перпендикуляри виявляються паралельними і не перетинаються, то МЦШ вважають нескінченно далеким і миттєву кутову швидкість тіла – рівною нулеві. У цьому випадку рух тіла розглядається як миттєво поступальний в розумінні розподілу швидкостей, тобто швидкості всіх точок тіла однакові по величині і напрямку.

Прискорення будь-якої точки плоскої фігури може бути знайдено геометричною сумою прискорення полюса і прискорення точки при обертальному русі навколо полюса, тобто:

,

де ║ , .

Варто пам'ятати, що знайдений розподіл швидкостей і прискорень має місце тільки в даний момент часу і в даному положенні тіла. У наступний момент часу положення тіла змінюється, а разом з ним змінюються і кінематичні характеристики як самого тіла, так і його точок.

Поиск по сайту: