АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Выполнение типового расчета. 1. Найдем решение первой системы A1 · X = B1

Читайте также:
  1. F Выполнение задания
  2. F Выполнение задания
  3. F Выполнение задания
  4. F Выполнение задания
  5. F Выполнение задания
  6. F Выполнение задания
  7. II. Выполнение дипломной работы
  8. II. Выполнение процедуры
  9. III. Самостоятельное выполнение практических заданий (решить в тетради)
  10. III. Самостоятельное выполнение практических заданий (решить в тетради)
  11. III. Самостоятельное выполнение практических заданий (решить на двойном листочке)
  12. Алгоритм расчета

1. Найдем решение первой системы A 1 · X = B 1. Запишем систему в явном виде:

(2)

Запишем расширенную матрицу системы и будем делать элементарные преобразования со строками этой матрицы.
~ ~
На первом этапе преобразований в первом столбце, начиная со второй строки, получили, нули. Для этого использовали следующие элементарные преобразования: ко второй строке прибавили первую, к третьей и четвертой строкам прибавили первую, умноженную на (–3).
~ ~ ~
На втором этапе преобразований получили нули во втором столбце, начиная с третьей строки. Для этого к третьей строке прибавили вторую, умноженную на (–2), к четвертой cтроке прибавили вторую. Затем получили нули в третьем столбце четвертой строки, прибавив к четвертой строке третью. Для удобства дальнейших действий можно вынести из второй строки (–1) и из четвертой - (–2). Чтобы не изменился определитель матрицы A 1, который нам нужно вычислить, вынесенный коэффициент ставим перед матрицей:
.
Определитель матрицы, преобразованной к треугольному виду, равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали. Это можно показать, если разложить определитель по первому столбцу, получившийся после этого определитель вновь разложить по первому столбцу и т.д.:

Тогда с учетом стоящего перед матрицей коэффициента, | A 1| = 6. Ранг матрицы A 1 равен 4, ранг расширенной матрицы также равен четырем, ледовательно, система имеет единственное решение.

Рассмотрим два метода нахождения решения.
Метод 1. По полученной матрице выпишем преобразованную систему:

из которой последовательно определим значения неизвестных: - (3; –3; –1; 3).
Метод 2. С помощью элементарных преобразований полученную треугольную матрицу коэффициентов приведем к диагональному виду, для этого к третьей строке прибавим четвертую строку, умноженную на 2, ко второй и к первой строкам прибавим четвертую строку. Тем самым в четвертом столбце выше единицы четвертой строки получим нули. Продолжая аналогичные действия, приведем матрицу коэффициентов к диагональному виду:
~ ~ ~ ~
Теперь, разделив первую строку на 3, получаем единичную матрицу коэффициентов
~ 3· .
В выделенном столбце находятся решения исходной системы уравнений, так как полученная расширенная матрица соответствует следующей системе:
x 1 = 3; ­ ­ ­ ­ ­ x 2 = –3; ­ ­ ­ ­ ­ x 3 = –1; ­ ­ ­ ­ ­ x 4 = 3.
Полученное решение необходимо проверить, т.е. подставить в исходную систему (2).
Это удобнее всего сделать, введя матрицу решения X 1 = ,
и умножая матрицу A 1 на X 1 справа. Если система решена верно, то результатом будет матрица B 1.
Действительно A 1 · X 1 = = B 1.

2. Запишем вторую систему A 2 · X = B 2 в явном виде:

По условию A 1 = A 2, т.е. вторая система отличается от первой только правыми частями, и главные определители у них равны, | A 1| = | A 2| = 6. Согласно теореме Крамера система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: . Вычислим вспомогательные определители.
Определитель |Δ1| получается из главного определителя системы | A | заменой первого столбца на столбец правых частей:
; ­ ­ ­ ­ ­ .
Для вычисления этого определителя проведем предварительные преобразования. Преобразуем определитель |Δ1| так, чтобы в его первой строке на первом месте осталась единица, а на всех остальных местах нули. Для этого ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный на (–2); к третьему – первый столбец, умноженный на (–1); к четвертому – первый столбец. А затем вычислим полученный определитель разложением его по первой строке:

Получившийся определитель третьего порядка также преобразуем. Вынесем из второго столбца 4, а затем с помощью второго столбца организуем нули на первом и третьем месте первой строки. Для этого к первому столбцу прибавим второй, умноженный на (–13); к третьему столбцу прибавим второй, умноженный на 7. Затем разложим полученный определитель по первой строке и, наконец, вычислим полученный определитель второго порядка:

Следовательно,
Определитель |Δ2| получается из главного определителя системы | A | заменой второго столбца на столбец правых частей:
| A | = 2| = .
Преобразуем определитель |Δ2| так, чтобы в его первом столбце на первом месте осталось число 3, а на всех остальных местах – нули. Для этого ко второй строке прибавим первую строку; к третьей – первую строку, умноженную на (–3); к четвертому – также первую строку, умноженную на (–3). А затем вычислим полученный определитель разложением его по первому столбцу:
2| =
Получившийся определитель третьего порядка преобразуем так, чтобы в третьем столбце на последнем месте стоял ноль. Для этого к третьей строке прибавим первую. Затем разложим полученный определитель по третьему столбцу и, наконец, вычислим полученный определитель второго порядка:

Следовательно, .
Определители |Δ3| и |Δ4| вычисляем аналогично, преобразуя и затем раскладывая по первому столбцу.


Откуда
Мы получили решение второй системы: или X 2 = .
Сделаем проверку. A 2· X 2 = = B 2.
Следовательно, система решена верно.

3. Проведем исследование третьей системы. Запишем систему A 3 · X = B 3 в явном виде:

(3)

Проведем необходимые элементарные преобразования над расширенной матрицей.

Определитель матрицы A 3 равен нулю, ранг матрицы A 3 равен 3 (одна нулевая строка в матрице ступенчатого вида), ранг расширенной матрицы равен 4 (нет нулевых строк). Так как ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы не равны друг другу, то система (3) не имеет решения.

4. Рассмотрим четвертую систему. Запишем систему A 4 · X = B 4 в явном виде:

Проведем необходимые элементарные преобразования над расширенной матрицей:
.
Определитель матрицы A 4 равен нулю, ранг матрицы A 4 равен 2, ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Так как ранги матриц равны, то система является совместной; ранг матрицы меньше числа неизвестных, следовательно, система является неопределенной. В преобразованной матрице жирным шрифтом выделен базисный минор. В качестве базисных неизвестных выберем x 1 и x 2 в, качестве свободных – x 3, x 4.
Перепишем полученную систему в виде

и введем x 3 = C 1 є R и x 4 = C 2 є R.
Окончательно получим x 1 = 3 – C 1 + C 2; ­ ­ ­ ­ ­ x 2 = 2 + C 1 + 2 C 2.
Решение неопределенной системы удобно записывать в векторном виде, выделяя фундаментальную систему решений однородной и частное решение неоднородной систем.

Частное решение неоднородной системы Фундаментальное решение однородной системы

Для проверки и здесь удобно воспользоваться умножением матрицы A 4 на матрицу X 4, образованную из указанных выше трех векторов.

В полученной матрице первый столбец должен соответствовать вектору правых частей системы B 4, а два других вектора должны быть нулевые, так как соответствующие решения являются решениями однородной системы уравнений.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)