|
|||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Теоретическое введение. Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК) можно представить в
Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК) можно представить в виде
Для каждой поверхности, определяемой уравнением (1), можно подобрать такую новую ДПСК (повернутую), что уравнение поверхности примет вид:
В типовом расчете дается уравнение именно вида (2). Как и в случае кривых второго порядка, уравнение (2) можно еще более упростить, если перейти к некоторой (новой) ДПСК, которая получается из данной параллельным переносом осей. В результате мы получим 17 различных видов уравнений. Однако для нас интерес будут представлять только 9; остальные уравнения либо ничего не определяют (например, ) либо определяют уже изученные нами геометрические объекты (например, определяет прямую – ось OZ).Эти 9 уравнений можно переписать в специальном виде, который называется каноническим, в таблице приведены канонические уравнения, а также названия и рисунки соответствующие им алгебраических поверхностей второго порядка.
симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Следовательно, он имеет три плоскости симметрии XOY, XOZ и YOZ, три оси симметрии: OX, OY и OZ и центр симметрии – точку O (0, 0, 0).
как и эллипсоид, симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Его можно получить вращением гиперболы вокруг ее действительной оси и последующим сжатием. Эта поверхность имеет вид бесконечной трубы, “нанизанной” на ось OZ и бесконечно расширяющейся при удалении “вверх” или “вниз” от плоскости XOY. Если однополостный гиперболоид (4) пересекать плоскостями, параллельными координатным, то в сечении могут получаться эллипсы (если плоскости параллельны XOY) или гиперболы. При сечении другими плоскостями могут также получаться и параболы, и пары пересекающихся прямых, и пары параллельных прямых. Отсюда, в частности, следует, что однополостный гиперболоид состоит из прямых, которые называют образующими. Этот последний факт широко используется в строительстве, например, при сооружении радиобашен.
тоже симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Его можно получить вращением гиперсолы вокруг ее мнимой оси и последующим сжатием. Эта поверхность распадается на две бесконечные выпуклые чаши. Плоскость, параллельная плоскости XOY, или не пересекает двуполостный гиперболоид (5), или касается его в одной точке, или пересекает по эллипсу; плоскости, параллельные XOY и YOZ, пересекают его по гиперболам, при сечении другими плоскостями могут получаться и параболы.
Поверхность, образованная прямыми (образующими), проходящими через данную точку (вершину) и пересекающими данную линию (направляющую), называется конической или конусом.
в отличие от предыдущих поверхностей имеет только две плоскости симметрии: XOZ и YOZ и одну ось симметрии: OZ. Его можно получить вращением параболы вокруг его оси симметрии и последующим сжатием. Эллиптический параболоид (7) имеет форму “чашки”, стоящей на плоскости XOY (точнее она касается плоскости XOY в начале координат); плоскости, параллельные XOY и лежащие ниже нее, не пересекают эллиптический параболоид, а лежащие выше – дают в сечениях эллипсы. Плоскости XOZ и YОZ и им параллельные дают в сечениях параболы. При сечении эллиптического параболоида (7) остальными плоскостями ничего другого мы получать не будем: либо плоскость пересекает параболоид (7) по эллипсу, либо по параболе, либо плоскость имеет одну общую точку с параболоидом (точку касания), либо, наконец, плоскость вообще не пересекает параболоид (7).
как и эллиптический параболоид, имеет две плоскости симметрии (XOZ и YOZ) и одну ось симметрии (OZ). В отличие от рассмотренных выше поверхностей, он не есть результат вращения кривой. Он имеет форму седла. Гиперболический параболоид (8) пересекает плоскость ХОZ по параболе x 2 = 2 pz, ветви которой обращены вверх, а плоскость YOZ – по параболе – y 2 = 2 pz, ветви которой обращены вниз. Вся поверхность может быть получена параллельным перемещением – скольжением второй параболы по первой. Любая плоскость пересекает гиперболический параболоид, в сечении могут получаться параболы, гиперболы (но не эллипсы) и пары пересекающихся прямых. Например, при сечении гиперболического параболоида (8) плоскостью XOY получаются прямые: и . Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |